（练习）课时分层作业19 向量的数量积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(十九)向量的数量积 一、选择题 1．下面给出的关系式中正确的个数是(　　) ①a·b＝b·a；②a2＝|a|2；③|a·b|≤a·b；④(a·b)2＝a2·b2. A．1 B．2 C．3 D．4 B　[①②正确，③错误，④错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，选B．] 2．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 C　[∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72， ∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4. 又|a|≥0，∴|a|＝6.] 3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° C　[由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0， 设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0. ∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝120°.] 4．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的投影数量为(　　) A．4 B．4 C．4 D．8＋ A　[a在b方向上的投影数量为|a|cos 〈a，b〉． 由a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉＝40且|b|＝10， 得|a|cos 〈a，b〉＝4.] 5．已知a，b是两个相互垂直的单位向量，而|c|＝13，c·a＝3，c·b＝4.则对于任意实数t1，t2，|c－t1a－t2b|的最小值是(　　) A． 5 B．7 C． 12 D．13 C　[由条件可得 ＝ －6t1 －8t2 ＋ t ＋ t ＝169＋(t1－3)2＋(t2－4)2－25 ＝144＋(t1－3)2＋(t2－4)2≥144. 当t1＝3，t2＝4时，＝144. 所以|c－t1a－t2b|的最小值是12.] 二、填空题 6．如图正方形ABCD的边长为3，则·＝__________． 9　[由数量积的定义，可得·＝|AC|×cos ∠BAC， 因为|AB|＝|AC|×cos ∠BAC，所以·＝2＝9.] 7．(2020·全国Ⅰ卷)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________． 　[∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝3， ∴|a－b|＝.] 8．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________． 2　[b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋1－t＝1－t＝0，解得t＝2.] 三、解答题 9．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？ [解]　由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3. 由c⊥d，得c·d＝0， 即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b) ＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2 ＝27m＋3(5m－9)－60 ＝42m－87＝0， ∴m＝，即m＝时，c与d垂直． 10．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影数量． [解]　(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝. |a＋b|＝＝＝＝1. 设向量2a－b与向量a＋b的夹角为θ， ∴|2a－b|cos θ＝|2a－b|·＝＝. ∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影数量为. 11．设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.下列说法正确的是(　　) A．若θ确定，则|a|唯一确定 B．若θ确定，则|b|唯一确定 C．若|a|确定，则θ唯一确定 D．若|b|确定，则θ唯一确定 B　[|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2＝|a|2t2＋2|a|·|b|cos θ·t＋|b|2. 因为|b＋ta|min＝1， 所以＝|b|2(1－cos2θ)＝1. 所以|b|2sin2θ＝1，所以|b|sinθ＝1，即|b|＝. 即θ确定，|b|唯一确定．] 12．在△ABC中，(＋)·＝0，则△ABC一定是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 B　[由已知得：(＋)·(－)＝