（练习）课时分层作业17 平面向量基本定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(十七)平面向量基本定理 一、选择题 1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ B　[由基的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基．] 2．在矩形ABCD中，O是其对角线的交点，＝5e1，＝3e2，则等于(　　) A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2) C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1) A　[＝＝(－)＝(5e1＋3e2).] 3．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为(　　) A．＝＋m B．＝m＋(1－m) C．＝ D．＝＋ C　[由＝m得－＝m(－)， ∴＋m＝＋m， ∴＝.] 4．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝(　　) A．(a－b) B．2b－a C．(b－a) D．2b＋a B　[如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝(＋)，则＝2－＝2b－a.] 5．如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n＝(　　) A． B． C． D． A　[法一：由＝2，＝2，知C是AB的中点，P是OC的中点，所以＝(＋)， 则＝(＋)，又＝，＝n， 从而＝－＝n－，＝－＝(＋)－＝－， 又点M，P，N共线， 所以存在实数λ，使＝λ成立， 即n－＝λ， 又因为，不共线， 所以有， 解得n＝，故选A. 法二：设＝λ，∵＝，＝n， ∴＝＋＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋nλ， 又知＝2， ∴＝＝＋， ∴ 解得λ＝，n＝，故选A.] 二、填空题 6．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________． 4e1＋3e2　[由题图可知，＝4e1＋3e2.] 7．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为________． (－∞，4)∪(4，＋∞)[若能作为平面内的一组基，则a与b不共线． a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2， 由a≠kb得λ≠4.] 8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 　[易知＝＋＝＋(－)＝－＋，所以λ1＋λ2＝.] 三、解答题 9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基； (2)以a，b为基，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． [解]　(1)证明：设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2). 由e1，e2不共线得即 ∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基． (2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. ∴即 ∴c＝2a＋b. (3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴即 故所求λ、μ的值分别为3和1. 10．如图所示，P是△ABC内一点，且满足＋2＋3＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，求证：＝2. [证明]　∵＝＋，＝＋， ∴(＋)＋2(＋)＋3＝0， ∴＋3＋2＋3＝0， 又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线， ∴＝λ，＝μ， ∴λ＋3＋2＋3μ＝0， ∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.而，为不共线向量， ∴ ∴λ＝－2，μ＝－1. ∴＝－＝. 故＝＋＝2. 11．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　　) A．3 B．4 C．－ D．－ B　[因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2， 所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0， 又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基， 所以 解得故选B．] 12．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界).设＝m1＋n2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足(　　) A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 B　[由题意及平面向量基本定理易得在＝m1＋n2中，m＞0，n＜0.] 13．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为________． 　[∵＝4＝r＋s， ∴＝＝(－)＝r＋