（练习）课时分层作业16 向量的数乘与向量共线的关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(十六)向量的数乘与向量共线的关系 一、选择题 1．下列说法中正确的个数是(　　) ①λa与a的方向不是相同就是相反 ②当且仅当a与b共线时，a与a＋b共线 ③若|b|＝2|a|，则b＝±2a， ④若b＝±2a，则|b|＝2|a| A．1 B．2 C．3 D．4 B　[②④正确．] 2．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 C　[由已知＝＋＋＝－8a－2b ＝2(－4a－b)＝2. ∴∥，又与不平行， ∴四边形ABCD是梯形．] 3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(　　) A．a B．b C．c D．0 D　[∵a＋b与c共线，∴存在实数λ1，使得a＋b＝λ1c.① 又∵b＋c与a共线，∴存在实数λ2，使得b＋c＝λ2a.② 由①得，b＝λ1c－a. ∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a， ∴即 ∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.] 4．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在直线AB外 C　[∵＝2－，∴－＝－， ∴＝，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选C.] 5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 D　[由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得：＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得 所以λμ＝1.故选D．] 二、填空题 6．已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于________． －4　[由a，b共线知，∃m∈R，使得a＝mb， 于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2，由于e1，e2不共线， 所以所以λ＝－4.] 7．若＝e，＝－2e，则四边形ABCD是________． 梯形　[由题意知＝－2，所以∥， 且||≠||.] 8．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝________．(用、表示) －　[＝－，＝＋. ∵E为BC的中点，F为AE的中点， ∴＝，＝， ∴＝－＝－＝(＋)－＝＋－， 又＝， ∴＝－.] 三、解答题 9．在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，用a、b表示. [解]　＝b＋a，＝a－b，设＝λ，则＝λa－λb， ∴＝＋＝λa＋b， ∵与共线且a、b不共线， ∴＝，解得λ＝， ∴＝a＋b. 10．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD．求证：M，N，C三点共线. [证明]　设＝a，＝b， 则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b. 又∵N在BD上且BD＝3BN， ∴＝＝(＋)＝(a＋b)， ∴＝－＝(a＋b)－b＝a－b＝， ∴＝，又∵与的公共点为C， ∴M，N，C三点共线． 11．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 B　[原式可化为－＝λ(e1＋e2)，其中e1，e2分别是，方向上的单位向量． ∴＝λ(e1＋e2)(λ≥0)， 因此，AP平分∠BAC， ∴P点必落在∠A的平分线上，即P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B．] 12．(多选题)平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：＋＋＝，则下列结论错误的是(　　) A．P在CA上，且＝2 B．P在AB上，且＝2 C．P在BC上，且＝2 D．P点为△ABC的重心 BCD　[＋＋＝⇒＋＝－⇒＋＝⇒＝2⇒∥⇒P在CA上．] 13．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________． －1　[∵＝a＋b，＝a－2b， ∴＝＋＝2a－b. 又∵A，B，D三点共线， ∴，共线． 设＝λ， ∴2a＋pb＝λ(2a－b)， ∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.] 14．如图，在△ABC中，O为BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________． 2　[在△ABC中连接AO(图略)， ∵O是BC的中点， ∴＝(＋)＝＋. 因为＝