（练习）课时分层作业15 向量的数乘运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(十五)向量的数乘运算 一、选择题 1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　) A．－a B．－4b C．c D．a－b A　[3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.] 2．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于(　　) A． B． C．2 D． C　[作平行四边形ABEC，则M是对角线的交点，故M是AE的中点，由题意知，＋＝＝2，故选C.] 3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝(　　) A．4e2 B．4e1 C．3e1＋6e2 D．8e2 D　[3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.] 4．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝(　　) A． B． C． D． A　[因为＝－＝－＝3e2－2e1，所以＝＝e2－e1.] 5．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝(　　) A．b＋c B．c－b C．b－c D．b＋c A　[∵＝2，∴－＝2(－)， ∴3＝2＋， ∴＝＋＝b＋c.] 二、填空题 6．4(a－b)－3(a＋b)－b等于________． a－8b　[原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.] 7．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________．(用a，b表示) b－a　[＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝b－a.] 8．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于________． 30°　[由＋＋＝0得， ＋＝， 结合向量加法的几何意义知四边形OACB为平行四边形，又OA＝OB， 则四边形OACB为菱形， 所以△OAC是正三角形， 所以∠CAO＝60°， 所以∠CAB＝∠CAO＝30°.] 三、解答题 9．如图，四边形ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量． (1)；(2). [解]　因为∥，||＝2||， 所以 ＝2，＝. (1)＝＋＝e2＋e1. (2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2. 10．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示. [解]　如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP. 在△ABC中，EP是中位线， 所以＝＝a. 在△ABD中，FP是中位线，所以＝＝－＝－b. 在△EFP中，＝＋＝－＋＝－a－b＝－(a＋b). 11．设D，E，F分别是△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝(　　) A． B． C． D． D　[∵D，E，F分别是△ABC三边BC，CA，AB的中点， ∴＋2＋3 ＝＋2＋3 ＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝.] 12．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b C．a∥b D．a＝2b D　[由a＝2b，得＝＝＝，故选D．] 13．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝________(用a，b表示). a＋b　[∵△DEF∽△BEA，∴＝＝， ∴DF＝AB，∴＝＋＝＋. ∵＝＋＝a，＝－＝b， 联立得：＝(a－b)，＝(a＋b)， ∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.] 14．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________． 　[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.] 15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用，表示. [解]　连接CD，OD，如图所示． ∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点， ∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝×90°＝30°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°. 由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°， ∴AC∥DO. 由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°， ∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO， ∴四边形ACDO为平行四边形， ∴＝＋＝＋. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$