（练习）课时分层作业9 函数y＝A sin (ωx＋φ) 的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(九)函数y＝A sin 的性质 一、选择题 1．函数f (x)＝sin 的图象(　　) A．关于直线x＝对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝－对称 D．关于点对称 B　[因为f＝sin ＝sin π＝0， 所以函数f (x)的图象关于点对称．故选B．] 2．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f (x)＝7sin 单调递增的区间是(　　) A． B． C． D． A　[法一(常规求法)：令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为，所以区间是函数f (x)的单调递增区间．故选A. 法二(判断单调性法)：当0＜x＜时，－＜x－＜，所以f (x)在上单调递增，故A正确；当＜x＜π时，＜x－＜，所以f (x)在上不单调，故B不正确；当π＜x＜时，＜x－＜，所以f (x)在上单调递减，故C不正确；当＜x＜2π时，＜x－＜，所以f (x)在上不单调，故D不正确．故选A. 法三(特殊值法)：因为＜＜＜π，但f＝7sin ＝7，f＝7sin ＜7，所以区间不是函数f (x)的单调递增区间，排除B；因为π＜＜＜，但f＝7sin π＝0，f＝7sin ＝－＜0，所以区间不是函数f (x)的单调递增区间，排除C；因为＜＜＜2π，但f＝7sin ＝－7sin ＞－7，f＝7sin ＝－7，所以区间不是函数f (x)的单调递增区间，排除D．故选A.] 3．函数f (x)＝sin ＋cos 的最大值为(　　) A． B．1 C． D． A　[因为cos ＝cos ＝sin ，所以f (x)＝sin ＋sin ＝sin ， 所以，函数f (x)的最大值为.故选A.] 4．设M和m分别表示函数y＝sin 2x－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　) A． B．－ C．－ D．－2 D　[因为ymax＝－1＝－，ymin＝×(－1)－1＝－，所以M＋m＝－－＝－2.故选D．] 5．已知直线x＝和x＝是函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0<φ<π)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝(　　) A． B． C． D． A　[由题意知：－＝，即＝π，T＝2π. 又T＝＝2π，所以ω＝1， 所以f (x)＝sin (x＋φ)， 因为x＝是函数的对称轴，所以＋φ＝＋kπ，即φ＝＋kπ，k∈Z. 又因为0<φ<π， 所以φ＝，检验知此时x＝也为对称轴，故选A.] 二、填空题 6．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________． [答案]　±2 7．函数y＝－2sin 的图象与x轴的交点中，与原点最近的一点坐标是________． 　[函数y＝－2sin 的图象与x轴相交， ∴4x＋＝kπ，∴x＝－＋(k∈Z). 当k＝1时，交点离原点最近坐标为.] 8．函数f (x)＝3sin 的图象为C，下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号). ①图象C关于直线x＝对称； ②图象C关于点对称； ③函数f (x)在区间x∈内是增函数； ④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. ①②③　[由于2× －＝，故①正确； 由于2× －＝π，故②正确； 由x∈得2x－∈，故函数f (x)在[－，]内为增函数，故③正确； 将函数y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可得函数y＝3sin 2＝3sin 的图象，故④错误．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝－2a sin ＋b的定义域为，值域为[－5，4]，求常数a，b的值． [解]　f (x)＝－2a sin ＋b， ∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin ∈， 则当a＞0时，∴a＝3，b＝1. 当a＜0时， ∴a＝－3，b＝－2. 10．已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点P，图象与P点最近的一个最高点坐标为. (1)求函数解析式； (2)指出函数的递增区间； (3)求使y≤0的x的取值范围． [解]　(1)∵图象最高点坐标为，∴A＝5. ∵＝－＝， ∴T＝π.∴ω＝＝2. ∴y＝5sin (2x＋φ).代入点， 得sin ＝1.∴π＋φ＝2kπ＋，k∈Z. 令k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin . (2)∵函数的递增区间满足2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋(k∈Z)，∴2kπ－ ≤2x≤2kπ＋(k∈Z). ∴kπ－ ≤x≤kπ＋(k∈Z). ∴递增区间为k∈Z. (3)∵5sin ≤0， ∴2kπ－π≤2x－ ≤2kπ(k∈Z). ∴kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z). ∴y≤0时，x的取值范围为，k∈Z. 11．(多选题)关于f (x)＝4sin (x∈R)，其中正确的是(　　) A．由f