（练习）课时分层作业8 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(八)函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 一、选择题 1．函数y＝2sin 的相位和初相分别是(　　) A．－2x＋， B．2x－，－ C．2x＋， D．2x＋， C　[y＝2sin ＝2sin ＝2sin . ∴相位和初相分别为2x＋，.] 2．若函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 B　[设函数的最小正周期为T，由函数图象可知＝－x0＝，所以T＝.又因为T＝，可解得ω＝4.] 3．把函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　) A．1， B．2， C．， D．， B　[依题意得f (x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos ，第二次变换得到 函数g(x)＝2cos . 因为函数g(x)的最小正周期为2π， 所以ω＝2，则g(x)＝2cos . 又因为函数为奇函数，0<φ<π，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，则φ＝.] 4．(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f (x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin B　[依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x)的图象，所以y＝sin y＝sin (x＋)的图象f (x)＝sin 的图象．] 5．将函数f (x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　) A． B．1 C． D．2 D　[函数向右平移个单位得到函数 g(x)＝f＝sin ω＝sin ， 因为此时函数过点， 所以sin ω＝0，即ω＝＝kπ， 所以ω＝2k，k∈Z，且ω＞0， 所以ω的最小值为2，故选D．] 二、填空题 6．函数y＝A sin (ωx＋φ)的最小值是－3，周期为，且它的图象经过点，则这个函数的解析式是________． y＝3sin 　[由已知得A＝3，T＝＝， 故ω＝6. ∴y＝3sin (6x＋φ).把代入， 得3sin φ＝－，sin φ＝－.又π＜φ＜2π，∴φ＝.∴y＝3sin .] 7．(2021·全国甲卷)已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f＝__________． －　[由题图可知，f (x)的最小正周期 T＝＝π， 所以ω＝＝2.因为f＝0， 所以由五点作图法可得2×＋φ＝，解得φ＝－， 所以f (x)＝2cos ， 所以f＝2cos ＝－2cos ＝－.] 8．已知函数f (x)＝2sin ，将f (x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x1)g(x2)＝9，则|x1－x2|的值可以是________(答案不唯一，写出一个即可). (答案不唯一)[将函数f (x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则所得图象对应的解析式为y＝2sin ，再将所得的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝2sin ＋1的图象，则函数g(x)的值域为[－1，3]，又g(x1)g(x2)＝9，所以g(x1)＝g(x2)＝g(x)max＝3，则|x1－x2|＝nT(n∈N，T为g(x)的最小正周期)，又T＝，故|x1－x2|＝(n∈N)，故可填.] 三、解答题 9．怎样由函数y＝sin x的图象变换得到y＝sin 的图象，试叙述这一过程． [解]　由y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝sin 的图象有两种变化途径： 10．已知曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈. (1)试求这条曲线的函数表达式； (2)画出(1)中函数在[0，π]上的图象． [解]　(1)因为函数图象的一个最高点为， 所以A＝，x＝为其中一条对称轴， 因为最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点，所以＝－＝. 又T＝＝π，所以ω＝2，此时y＝f (x)＝sin (2x＋φ)， 又f＝，所以sin ＝1， 即＋φ＝＋2kπ，即φ＝＋2kπ，k∈Z， 又φ∈，所以φ＝， 所以y＝sin . (2)列出x，y的对应值表： x 0 π 2x＋ π 2π y 1 0 － 0 1 作