（练习）课时分层作业3 弧度制-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

课时分层作业(三)弧度制 一、选择题 1．－105°化弧度是(　　) A．π B．－π C．－π D．－π B　[－105°＝－105×＝－π.故选B．] 2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) C　[与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，故选C.] 3．在半径为1的圆中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[由S＝α·r2，得1＝·α·12，∴α＝2.故选B．] 4．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是(　　) A．4 cm2 B．2 cm2 C．4π cm2 D．2π cm2 A　[设扇形的半径为r，则由l＝|α|r， 得r＝＝2(cm)，∴S＝|α|r2＝×2×22＝4(cm2)，故选A.] 5．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　) A．π B．π C．π D．π A　[240°＝240× rad＝ π rad， ∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，故选A.] 二、填空题 6．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是________． 　[设三角形的三个内角的弧度数分别为4x，5x，6x，则有4x＋5x＋6x＝π，解得x＝，∴最大内角的弧度数为6x＝.] 7．若α＝2，则角α的终边所在的象限为________． 第二象限　[∵α＝2，∴<α<π，故α在第二象限．] 8．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________． 　[由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R， 则S′＝l′R′＝ × l× R＝S.] 三、解答题 9．把下列角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角． (1)－；(2)－1485°. [解]　(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角．终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}． (2)－1485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，它是第四象限角．终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}． 10．已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值． [解]　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r. ∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r ＝－＋. ∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r<， ∴当r＝时，Smax＝. 此时，l＝a－2·＝， ∴α＝＝2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为 ． 11．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，做一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”的总长度为(　　) A． B．14π C．24π D．10π B　[由题意知：“螺旋蚊香”的总长度为l＝×2π(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝14π，故选B．] 12．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　　) A． B． C． D．π B　[设从动轮N逆时针旋转θ rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝×θ，解得θ＝，故选B．] 13．半径为1 cm，中心角为150°的角所对的弧长为________． cm　[∵150°＝150×＝，∴l＝×1＝cm.] 14．已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为________；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为________. 2　4　[设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为2r，∴|θ|＝＝2；又圆内接正方形的边长为r，圆弧长为4r，∴|θ|＝＝4.] 15．如图，一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走