（讲义）微专题1 平面向量数量积的综合应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

微专题1　平面向量数量积的综合应用 向量的数量积运算、向量的垂直是考查的热点，平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查．解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、直观想象等核心素养． 类型1　数量积的计算 【例1】　(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________． (2)在△ABC中，已知与的夹角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________． (1)12　(2)　[(1)因为·＝2·， 所以·－·＝·， 所以·＝·. 因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝， 所以2||＝||||cos ， 化简得||＝2. 故·＝·(＋)＝||2＋· ＝(2)2＋2×2cos ＝12. (2)根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)， 所以＝(0，2)，＝(1，0)，＝(1，－2). 设M(x，y)，则＝(x，y)， 所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y， 又＝λ＋μ， 即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)， 所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.] 平面向量数量积的运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为a，b的夹角). (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 类型2　求模 【例2】　已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||＝________． 2　[因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b， 所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2) ＝4×(3－2×2××cos ＋4)＝4， 则||＝2.] 求向量的模的方法 (1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算化为数量积运算； (2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解． 类型3　求夹角 【例3】　已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________. －　[因为2＝， 所以E为BC的中点． 设正方形的边长为2， 则||＝，||＝2， ·＝(＋)·(－) ＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2， 所以cos θ＝＝＝－.] 求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：由向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系； (2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝. 类型4　垂直问题 【例4】　△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　) A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ D　[∵b＝－＝， ∴|b|＝||＝2，故A错； ∵·＝2×2×cos 60°＝2，即－2a·b＝2， ∴a·b＝－1，故B，C都错； ∵(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0， ∴(4a＋b)⊥，故选D．] 两向量垂直的应用a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0). 类型5　数量积的综合问题 【例5】　已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R. (1)若m⊥n，求α； (2)若|m－n|＝，求sin α的值． [解]　(1)若m⊥n，则m·n＝0， 即－sin α(sin α－2)－cos2α＝0， 即sinα＝， 可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z. (2)若|m－n|＝，则(m－n)2＝2， 即(2sin α－2)2＋(－2cos α)2＝2， 即4sin 2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2， 即8－8sinα＝2， 可得sin α＝. 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$