（讲义）第3章 §1 建筑物高度的测量 §2 测量和自选建模作业的汇报交流-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§1　建筑物高度的测量 §2　测量和自选建模作业的汇报交流 1．了解数学建模的意义． 2．了解数学建模的基本过程．(重点) 3．能够利用或建立解三角形模型解决关于高度测量的实际问题．(难点、重点) 1．经历数学建模的过程，培养数学抽象与数据分析素养． 2．通过数学建模解决实际问题的过程，提升数学运算、逻辑推理与直观想象素养． 前面我们学完了正弦、余弦定理，并对正弦、余弦定理的应用举例做了了解，两个定理的应用非常广泛，可以与三角函数、平面向量等知识综合命题，也可以在现实生活中利用与正弦、余弦定理相关的知识解决问题，那么如何建立解三角形的模型解决问题呢？ 知识点1　数学建模的概念 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模． 知识点2　正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤 (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 测量底部不能到达的建筑物的高度时，往往需要在经过建筑物底部的水平面内引一条基线． (1)当基线CD与建筑物AB在同一铅垂面内时，如图，需要测量哪些数据？如何计算该建筑物的高度？ [提示]　测量出基线CD的长及在C，D处建筑物AB顶部点A的仰角的度数， 在Rt△ABD中，BD＝， 在Rt△ABC中，BC＝， ∴a＝CD＝BC－BD＝－. ∴AB＝. (2)当基线CD与建筑物AB不在同一铅垂面内时，如图，需要测量哪些数据？如何计算该建筑物的高度？ [提示]　测量出基线CD的长及在C处建筑物AB顶部点A的仰角的度数，在平面BCD内，测量出∠BCD与∠BDC的度数． 在△BCD中，BC＝×sin D． ∵AB⊥BC ，∴∠BAC＝－∠ACB． ∴在△ABC中，AB＝×sin ∠ACB＝×sin ∠ACB． ∴AB＝×sin ∠ACB＝. 类型1　基线与建筑物在同一铅垂面内 【例1】　如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD． [解]　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. 根据正弦定理得＝，即＝， ∴AC＝＝. 在Rt△ACD中，CD＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝. 所以，山的高度为. 解三角形应用题的一般步骤 (1)准确理解题意，分清已知和所求，尤其要理解应用题中的名词和术语； (2)画出示意图，并在图形中标注出已知条件； (3)若已知量与未知量涉及多个三角形，则需要利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，并作答． [跟进训练] 1．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度．(精确到1m.≈1.4142，sin 35°≈0.5736). [解]　过点D作DE∥AC交BC于E， 因为∠DAC＝20°， 所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°. 在△ABD中，由正弦定理得，AB＝＝1000(m). 在Rt△ABC中，BC＝AB sin 35°≈811(m). 所以，山的高度约为811m. 类型2　基线与建筑物不在同一铅垂面内 【例2】　如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD． [解]　由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD． 因此只需在△ABD中求出AD即可， 在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°， 由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m). 所以，山的高度为800(＋1)m． 测量高度时，要准确理解仰角、俯角的数学含义．它是将实际问题转化为数学问题的关键． [跟进训练] 2．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，求此山的高度CD． [解]　依题意，∠CAB＝30°，AB＝600 m， ∠CBA＝180°－75°＝105°， ∠CBD＝30°， ∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°. 由正弦定理，得BC＝·sin