（讲义）第2章 §5 5.1 向量的数量积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§5　从力的做功到向量的数量积 5.1　向量的数量积 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点) 2．体会平面向量数量积与投影数量的关系．(难点) 3．会进行平面向量数量积的运算．(重点) 4．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点) 1．通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过数量积的应用，培养数学运算素养． 小明在雪地里，用雪橇拉着妹妹玩耍，在他的拉力F的作用下，雪橇产生了一段位移s. 阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题1：如何计算这个力所做的功？ 问题2：力做功的大小与哪些量有关？ 问题3：向量数量积的运算结果是什么？ 知识点1　平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)，我们把|a||b|cos 〈a，b〉叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a|·|b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量． (　　) (2)若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角． (　　) (3)若a·b＝0，则a⊥b. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 知识点2　投影 (1)如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，投影γ＝称为投影向量． (2)如图，|a|cos_〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·. (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos_〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos_〈a，b〉的乘积(如图). (4)数量积的物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s． 1．向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量相等吗？ [提示]　不一定．当且仅当＝时，相等． 2．当a≠0时， 由a·b＝0一定能得到b＝0吗？ [提示]　不一定．例如，当a⊥b时，即使b≠0，也有a·b＝0. 2．已知|a|＝4，a与b的夹角θ＝60°，则a在b方向上的投影数量为________． 2　[a在b方向上的投影数量为|a|cos θ＝4×＝2.] 知识点3　数量积的运算律 交换律：a·b＝b·a. 与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). 关于加法的分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 知识点4　数量积的性质 (1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos 〈a，e〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0(其中a，b为非零向量)； (3)|a|＝； (4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； (5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 3．数量积运算是否满足结合律？ [提示]　不满足． 3．已知实数λ和非零向量a，b，下列选项中错误的是(　　) A．|a|＝　 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b| B　[当且仅当a，b的夹角为0或π时，|a·b|＝|a||b|，故B错误．] 类型1　数量积的基本概念 【例1】　下列判断： ①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0； ②若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影数量； ③a，b共线⇔a·b＝|a||b|； ④a·a·a＝|a|3； ⑤a2＋b2≥2a·b； ⑥非零向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角； 其中正确的是________(填序号). ①②⑤　[由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确； 根据投影数量的定义知，②正确； a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错误； 对于④应该是a·a·a＝|a|2a，所以④错误； 对于⑤，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑤正确； 对于⑥，当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑥错误． 综上可知①②⑤正确．] 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等． [跟进训练] 1．给出下列结论： ①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________． ④　[因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①错误； 当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，