（讲义）第2章 §4 4.2 平面向量及运算的坐标表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

4.2　平面向量及运算的坐标表示 1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(重点) 2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点) 1．通过向量的坐标表示的学习，培养数学抽象素养． 2．通过向量和、差及数乘向量的坐标运算法则的应用，培养数学运算素养． 卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，需要将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度． 问题1：如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？ 问题2：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对(即它的坐标)表示，那么如何表示坐标平面内的一个向量呢？ 知识点1　平面向量的坐标表示 如图在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.因此，a＝xi＋yj.我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)． 1．若i，j分别是与x轴，y轴同方向的单位向量，则i，j的坐标分别是什么？ [提示]　在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1). 2．相等向量的坐标相同吗？ [提示]　相等向量经过平移可以具有共同的始点O(O为坐标原点)，这时其终点相同，而终点的坐标即是这些向量的坐标，所以相同． 知识点2　平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 数学公式 文字语言表述 向量加、减法 a±b＝(x1±x2，y1±y2) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 向量数乘 λa＝(λx1，λy1) λ∈R 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 向量坐标 ＝(x2－x1，y2－y1) 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)相等向量的坐标相等． (　　) (2)在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x1－x2，y1－y2). (　　) (3)与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i＝(1，0)，j＝(0，1). (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b等于(　　) A．(7，3) B．(7，7) C．(1，7) D．(1，3) [答案]　A 知识点3　中点坐标公式 若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段AB的中点坐标公式． 知识点4　平面向量平行的坐标表示 (1)设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.若a∥b，则存在实数λ，使得a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0． 若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝. (2)文字语言描述向量平行的坐标表示 定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． 定理2：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． 3．已知a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________． －3　[因为a∥b，所以2λ－6×(－1)＝0，即λ＝－3.] 类型1　平面向量的坐标表示 【例1】　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标． [解]　(1)作AM⊥x轴于点M， 则OM＝OA·cos 45°＝4× ＝2，AM＝OA·sin 45°＝4× ＝2. ∴A(2，2)， 故a＝(2，2). ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°. 又∵OC＝AB＝3， ∴C， ∴＝＝， 即b＝. (2)＝－＝. (3)＝＋＝(2，2)＋(－，)＝. 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标．一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围． [跟进训练] 1．在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标． [解]　设点A(x，y)，B(x0，y0)， ∵|a|＝2，且∠AOx＝45°. ∴x＝2cos 45°＝，且y＝2sin 45°＝. 又∵|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°. ∴x0＝3cos 120°＝－