（讲义）第2章 §4 4.1 平面向量基本定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§4　平面向量基本定理及坐标表示 4.1　平面向量基本定理 1．理解平面向量基本定理及其意义(重点)． 2．体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)． 通过平面向量基本定理的推导与应用，培养逻辑推理与数学运算素养． 音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此． 阅读教材，回答下列问题： 问题：在平面向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？你发现它是什么？ 知识点1　平面向量基本定理 (1)定义：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}． 1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 B　[B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)， ∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基．] 知识点2　标准正交基 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． 1．0能不能作为基中的一个基向量？ [提示]　由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基向量． 2．平面向量的基唯一吗？ [提示]　不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基． 2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基． (　　) (2)零向量不能作为基向量． (　　) (3)平面向量基本定理中基的选取是唯一的． (　　) (4)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d. (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 类型1　对向量基的理解 【例1】　下列关于基的说法正确的是(　　) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基； ②基中的向量可以是零向量； ③平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的． A．① B．② C．①③ D．②③ C　[由平面向量基本定理可知，只有①③是正确的．] 考查两个向量是否能构成基，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基唯一线性表示出来． [跟进训练] 1．若e1，e2是平面内的一组基，则下列四组向量能作为平面向量的基的是(　　) A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1，6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 D　[只有e1＋e2与e1－e2不共线，故选D．] 类型2　用基表示平面向量 【例2】　如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基表示，. [解]　∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点， ∴＝＝2，＝＝2， ∴＝＝b，＝＝－＝－a. ∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b， ＝＋＝＋＝b－a. [母题探究] 若本例中其他条件不变，设＝a，＝b，试以a，b为基表示，. [解]　取CF的中点G，连接EG. ∵E、G分别为BC，CF的中点， ∴＝＝b，∴＝＋＝a＋b. 又∵＝＝， ∴＝＝＝a＋b. 又∵＝＝＋＝＋＝＋， ∴＝＝b＋＝a＋b. 应用平面向量基本定理时的关注点 1．充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系． 2．应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等． 3．一个重要结论：设a、b是同一平面内的两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则有 [跟进训练] 2．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来． [解]　如图，＝－＝－＝－－(－)＝－＝b－a. 同理可得＝a－b. ＝－＝－(＋)＝a＋b. 类型3　平面向量基本定理的应用 【例3】　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． [解]　设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分别