（讲义）第2章 §3 3.2 向量的数乘与向量共线的关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

3.2　向量的数乘与向量共线的关系 1．掌握共线(平行)向量基本定理．(重点) 2．能用共线(平行)向量基本定理求解点共线问题．(重点) 通过共线(平行)向量基本定理的推导与应用，培养逻辑推理素养． 位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现．如力与加速度的关系F＝ma，位移与速度的关系s＝vt.这些公式都是实数与向量间的关系． 阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题1：上述问题中，力与加速度、位移与速度是怎样的关系？ 问题2：前面我们学习了数乘运算，你能发现实数和向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 知识点1　共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a＝λb． 1．在共线(平行)向量基本定理中，为什么强调“非零向量a”？ [提示]　当a＝0，b≠0时，λ不存在；当a＝0，b＝0时，λ不唯一． 1．平面向量a，b共线的充要条件是(　　) A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．存在λ∈R，b＝λa D．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0 D　[A忽略了方向相反的情况；B只考虑了特例；C没有包含a＝0而b≠0的情形；D是充要条件．] 知识点2　直线的向量表示 已知A，B两点确定一条直线l，l上任意一点P所对应的向量与向量共线，即存在唯一实数t，使得＝t，这说明由一个点A和一个非零向量可以唯一地确定过点A与向量共线的直线l. 通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量． 2．一条直线的方向向量唯一吗？ [提示]　不唯一． 2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若b＝λa，则a与b共线． (　　) (2)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa. (　　) (3)若向量a、b不共线，则当且仅当λ＝μ＝0时，λa＝μb. (　　) (4)直线AB可以用向量表示为＝＋t，其中O是坐标原点． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 类型1　证明向量共线 【例1】　已知两个非零向量a、b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.证明：A、B、C三点共线． [证明]　由于＝a＋b，＝a＋2b， ＝a＋3b， 则＝－＝a＋2b－a－b＝b，而＝－＝a＋3b－a－b＝2b， 于是＝2， 即与共线， 又∵与有公共点A， ∴A、B、C三点共线． 共线向量基本定理的应用 (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行． (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法． [跟进训练] 1．已知两个非零向量a与b不共线，如果＝a＋b，＝2a＋8b，＝2a－4b，求证：A、B、D三点共线． [证明]　因为＝＋＝(2a＋8b)＋(2a－4b)＝4a＋4b＝4(a＋b)＝4， 所以根据共线向量基本定理，知与共线． 又因为与有公共点B， 所以A、B、D三点共线． 类型2　利用向量共线求参数值 【例2】　如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中向量i、j不共线，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线． [解]　∵A、B、C三点共线， 即、共线， ∴存在实数λ使得＝λ， 即i－2j＝λ(i＋mj). ∴i－2j＝λi＋λmj. 于是解得m＝－2， 即m＝－2时，A、B、C三点共线． 1．此类问题求解的依据：若向量a、b不共线，则当且仅当λ＝μ＝0时，λa＝μb. 2．将点共线转化为向量共线是求解点共线问题的一种重要方法． [跟进训练] 2．设两向量a与b不共线．试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． [解]　∵ka＋b与a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb， ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共线的两个向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. 类型3　共线向量在平面几何中的应用 【例3】　如图所示，已知D，E分别是边AB，AC的中点．求证：DE∥BC，且|DE|＝|BC|. [证明]　＝－，＝－. ∵D，E分别为边AB，AC的中点， ∴＝，＝， ∴＝(－)＝， ∴DE∥BC，且|DE|＝|BC|. 应用向量共线定理时的注意点 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线． [跟进训练