（讲义）第2章 §2 2.1 向量的加法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§2　从位移的合成到向量的加减法 2.1　向量的加法 1．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．(重点) 2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．(难点) 1．通过向量加法的概念及向量加法法则的学习，培养数学抽象素养． 2．通过向量加法法则的应用，培养数学运算素养． 有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力F1，F2的大小分别是|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条牵引力为F3的拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果． 阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题1：上述体现了向量的什么运算？ 问题2：向量加法运算常用什么法则？ 问题3：向量的加法运算结果还是向量吗？ 知识点　向量求和法则及运算律 类别 图示 几何意义 向量求和的法则 三角形法则 已知不共线向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边 形法则 已知不共线向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b 向量加法的运 算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1．根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律．(注：＝a，＝b) [提示]　∵＝＋，∴＝a＋b. ∵＝＋，∴＝b＋a. ∴a＋b＝b＋a. 2．根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．(注：＝a，＝b，＝c) [提示]　∵＝＋＝(＋)＋， ∴＝(a＋b)＋c， 又∵＝＋＝＋(＋)， ∴＝a＋(b＋c)， ∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)0＋a＝a＋0＝a. (　　) (2)＋＝. (　　) (3)＋＝0. (　　) (4)在平行四边形ABCD中，＋＝. (　　) (5)||＋||＝||. (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 类型1　向量加法法则的应用 【例1】　(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b； (2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b. [解]　(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，则＝a＋b. (2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，＝a＋b. 用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用． [跟进训练] 1．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c. [解]　在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c. 类型2　向量加法及其运算律 【例2】　化简下列各式： (1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. [解]　(1)＋＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0或＋＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝0. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 向量运算中化简的两种方法 (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量． (2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简． [跟进训练] 2．如图，在平行四边形ABCD中 (1)＋＝________； (2)＋＋＝________； (3)＋＋＝________； (4)＋＋＝________． (1)　(2)　(3)　(4)0　[(1)由平行四边形法则知，＋＝. (2)＋＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＝. (4)∵＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝0.] 类型3　向量加法的实际应用 【例3】　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题． [解]　作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中， ||＝||＝v水＝10 m/min， ||＝|v船|＝20 m/min， ∴cos α＝＝＝， ∴α＝60°， 从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向． [母题探究] 1．若本例条件不变，