（讲义）第2章 §1 从位移、速度、力到向量-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§1　从位移、速度、力到向量 1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点) 通过向量的有关概念的学习，培养数学抽象素养． 起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用． 问题：上述情境涉及哪些物理量？其特点是什么？ 知识点1　向量的概念 把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等). 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ [提示]　数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 知识点2　向量的表示方法 (1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段，记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作． (2)向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a|.箭头所指的方向表示向量的方向． 知识点3　零向量与单位向量 (1)长度为0的向量称为零向量，记作0或； (2)模等于1个单位长度的向量，叫作单位向量． 1．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________． [答案]　一条直线　两个点 知识点4　向量的基本关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a＝b. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量共线． (3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a的相反向量记作－a； 规定零向量的相反向量是零向量． 2．下列说法错误的是(　　) A．若a＝0，则＝0 B．零向量是没有方向的 C．零向量与任意向量平行 D．零向量与任意向量垂直 B　[零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行、垂直，所以B是错误的．] 知识点5　向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角； (2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系： θ＝0°⇔a与b同向；θ＝180°⇔a与b反向；θ＝90°⇔a⊥b，规定：零向量与任一向量垂直． 3．等边△ABC中，与的夹角是________，与的夹角是________． [答案]　60°　120° 类型1　向量的有关概念 【例1】　判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； (2)若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点； (3)在平行四边形ABCD中，一定有＝； (4)若向量a与任一向量b平行，则a＝0. [解]　(1)当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，故(1)不正确． (2)＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故(2)不正确． (3)在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，(3)正确． (4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确． 1．向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行． 2.熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础． [跟进训练] 1．已知O是△ABC的外心，则，，是(　　) A．相等向量　 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量 C　[＝＝＝r.] 类型2　向量的表示 【例2】　一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位置向量． [解]　(1)向量，，，，如图所示． (2)由题意知＝， ∴AD与BC平行且相等， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴＝， ∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”． 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可． [跟进训练] 2．在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1). (1)||＝4，点A在点O正北方向； (2)||＝2，点B在点O东偏南45°方向； (3)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝，并说出c的终点的轨迹是什么？ [解]　(1)(2)(3)的图象如图所示． (3)c的终点轨迹是以C为圆心，半径为的圆． 类型3　共线向量与夹角 【例3