（讲义）第2章 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

类型1　向量的线性运算及应用 1．要熟练掌握向量的有关概念，平行向量定理，平面向量基本定理，用基表示向量，三角形法则，平行四边形法则，这是向量线性运算的基础． 2．向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量的重要方法和技巧． 【例1】　(1)已知O是△ABC的重心，点P满足＝，则点P一定是△ABC的(　　) A．重心 B．AB边的中点 C．AB边中线的中点 D．AB边中线的非重心的三等点 (2)若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则c＝(　　) A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a＋3b (1)D　(2)B　[(1)取AB中点M，连接CM， 因为M是AB的中点，所以＝， 所以＝＝(＋2)，即＝，即＝2， 由此可得，C，P，M三点共线，且||＝2||， 所以点P是△ABC的AB边中线的非重心的三等点. (2)设c＝xa＋yb， 则∴ ∴c＝3a－b.] 类型2　向量的数量积运算及应用 求两个向量数量积的方法 1．如果无法寻找到计算数量积的要素(模与夹角)，那么可考虑用一组基将a，b两个向量表示出来，再进行运算．这是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法． 2．若几何图形易于建系，则考虑将向量坐标化，用数量积的坐标表示来计算数量积． 3．根据数量积的几何意义求数量积，通常适用于处理几何图形中的向量问题． (1)图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心等，可考虑用投影法计算数量积． (2)在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影数量最大与最小的问题． 【例2】　已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求·的值与·的最大值． [解]　法一：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示． 则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)， 设E(1，a)(0≤a≤1). 所以·＝(1，a)·(1，0)＝1，·＝(1，a)·(0，1)＝a≤1， 故·的最大值为1. 法二：由图知，无论E点在哪个位置， 在方向上的投影数量都是CB＝1， ∴·＝||·1＝1， 当E运动到B点时，在方向上的投影数量最大即为DC＝1， ∴(·)max＝||·1＝1. 类型3　平面向量与三角形的“四心” 在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基，先将相关向量表示为基向量的线性组合，再把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系． 【例3】　(1)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的中点 (2)已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则x＝________，y＝________. (1)C　(2)　　[(1)取AB的中点D，则2＝＋， ∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]， ∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋， 而＋＝1， ∴P，C，D三点共线， ∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心． (2)取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON(图略)，则⊥，⊥， ＝－＝－(x＋y)＝－y，＝－＝－(x＋y)＝－x. 由⊥，得2－y·＝0， ① 由⊥，得2－x·＝0， ② 又因为2＝(－)2＝2－2·＋2， 所以·＝＝－， ③ 把③代入①、②得 解得x＝，y＝.] 类型4　余、正弦定理与向量的综合应用 1．余弦定理及其变形 a2＝b2＋c2－2bc cos A；cos A＝；b2＋c2－a2＝2bc cos A； 2．正弦定理及其变形 a＝2R sin A；sin A＝；a sin B＝b sin A. 【例4】　在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若·＝·＝1. (1)求证：A＝B； (2)求边长c的值； (3)若|＋|＝，求△ABC的面积． [解]　(1)证明：∵·＝·， ∴bc cos A＝ac cos B，即b cos A＝a cos B． 由余弦定理得b·＝a·， 整理得a2＝b2， ∴a＝b.∴A＝B． (2)∵·＝1，∴bc cos A＝1. 由余弦定理得bc·＝1， 即b2＋c2－a2＝2. ∵由(1)得a＝b， ∴c2＝2，∴c＝. (3)∵|＋|＝， ∴||2＋||2＋2·＝6. 即c2＋b2＋2＝6， ∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2，∴b2＝2，b＝.