（讲义）第1章 §8 三角函数的简单应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§8　三角函数的简单应用 1．了解三角函数是研究周期现象最重要的模型．(重点) 2．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．(难点) 通过三角函数的简单应用，培养数学运算与数学建模素养． 江心屿 温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联．上联是：云朝朝　朝朝朝　朝朝朝散；下联是：潮长长　长长长　长长长消．该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面．下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表： 时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 问题　1．仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？ 2．以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？ 知识点　利用三角函数模型解决实际问题的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)画散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题． (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验． 在函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中，如何用函数的最值表示A，B? [提示]　因为ymax＝A＋B，ymin＝－A＋B，所以A＝，B＝. 如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是(　　) A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 B　[由图象可知，该质点的振动周期是2×(0.7－0.3)＝0.8，故A不正确；振幅为5 cm，故选B．] 类型1　三角函数模型在物理中的应用 【例1】　交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220·sin 来表示，求： (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． [解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110V. (2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220 V. 当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值． 三角函数模型处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性； (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． [跟进训练] 1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin . (1)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？ (2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆来回摆动一次需要多少时间？ [解]　(1)当t＝0时，s＝6sin ＝6× ＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm. (2)s＝6sin 的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm. (3)s＝6sin 的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s． 类型2　三角函数模型的实际应用 【例2】　某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线可近似地看作函数y＝A sin ωt＋b的图象． (1)试根据以上数据，求函数解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？ (1)根据题意确定A，b，ω.(2)根据题意水深y≥11.5可求解． [解]　(1)从拟合曲线可知，函数y＝A sin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期， ∴函数的最小正周期为12 h， 因此＝12，得ω＝. ∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10. ∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3. ∴所求函数的解析式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24). (2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时水深y应不小于7＋4.5＝11.5(m). ∴当y≥11.5时就可以进港． 令y＝3sin t＋10≥11.5， 得sin t≥ ， ∴＋2kπ≤ t≤ ＋2kπ(k∈Z)，∴1＋1