（讲义）第1章 §6 第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ) 的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 1．掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法．(重、难点) 2．理解函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性．(重点、易混点) 通过函数y＝A sin 的性质的应用，培养数学运算与逻辑推理素养． 在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数(其中A，ω，φ为常数)，例如，在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示． 问题　你知道这类函数有什么性质吗？ 知识点　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝ 奇偶性 φ＝kπ，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是偶函数 对称轴方程 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 对称中心 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 单调性 递增区间由2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得； 递减区间由2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得 函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与f的取值有何关系？ [提示]　“f＝0”是“f (x)是奇函数”的充要条件． “f＝±A”是“f (x)是偶函数”的充要条件． 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝sin 2x在[0，π]和[2π，3π]上的图象形状相同，只是位置不同． (　　) (2)－≤sin ≤. (　　) (3)函数y＝3sin 的图象关于直线x＝－轴对称． (　　) (4)函数y＝sin x的零点是x＝kπ，k∈Z. (　　) [答案](1)√　(2)√　(3)√　(4)× 类型1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的最值问题 【例1】　(1)函数y＝－2sin (2x－)＋1的最大值为________，取得最大值时x＝________． (2)求函数y＝sin ，x∈的值域． (1)3　－＋kπ，k∈Z　[ymax＝－2×(－1)＋1＝3， 令2x－＝－＋2kπ，k∈Z， 解得x＝－＋kπ，k∈Z.] (2)[解]　∵0≤x≤ ， ∴ ≤2x＋ ≤ . ∴－ ≤sin ≤1. ∴－1≤ sin ≤ ， 即－1≤y≤ . ∴函数y＝sin ， x∈的值域为[－1，]. [母题探究] 本例(1)中的函数解析式不变，求函数的最小值及取得最小值时x的值． [解]　ymin＝－2×1＋1＝－1，令2x－＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z. 求函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤 (1)换元，令u＝ωx＋φ，并求u的取值范围； (2)作出y＝sin u(注意u的取值范围)的图象； (3)结合图象求出值域． [跟进训练] 1．已知f (x)＝sin (ω>0)，f＝f，且f (x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________． 　[如图所示，由题意知： f (x)在x＝＝处取得最小值． ∴ω＋＝2kπ－ (k∈Z). ∴ω＝8k－ (k∈Z). ∵ω>0，∴当k＝1时，ω＝8－＝； 当k≥2时，ω≥16－＝，此时在区间内已存在最大值．故ω＝.] 类型2　求y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的周期 【例2】　求下列函数的周期： (1)y＝3sin ＋1； (2)y＝. [解]　(1)∵ω＝2， ∴T＝＝＝π. (2)y＝的图象如下： 由图象可知，T＝π. 1．形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b的函数的最小正周期为T＝. 2．形如函数y＝的周期可用图象法求解，其最小正周期为T＝，因此周期减半． [跟进训练] 2．函数y＝5sin 的最小正周期为________． 4π　[函数y＝5sin 的最小正周期T＝＝4π.] 类型3　求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间 【例3】　求函数y＝2sin 的单调增区间． y＝sin x与y＝sin (－x)的单调性有什么关系，类比分析，如何求y＝2sin 的单调增区间？ [解]　y＝2sin ＝－2sin .所以其单调递增区间，就是y＝2sin 的单调递减区间． 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋，(k∈Z) 因此函数y＝2sin 的单调增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z). 求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，常视ωx＋φ为一个整体，通过y＝sin x的单调增(减)区间，求得函数的增(减)区间，当ω<0时，可用诱导公式化其为正． [跟进训练] 3．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝b(0＜b＜A)的三