（讲义）第1章 §5 5.2 余弦函数的图象与性质再认识-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 1．能正确使用“五点法”“图象变换法”画出余弦函数的简图．(重点)． 2．掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期，单调区间和最值．(难点) 1．通过画余弦函数的图象，培养直观想象素养． 2．通过余弦函数的性质的应用，培养数学运算素养． 在上节课中，我们知道正弦曲线y＝sin x的图象是通过等分单位圆，平移正弦线而得到的．在精确度要求不高时，可以采用“五点法”画图，那么对于余弦函数y＝cos x的图象，是不是也可以用同样的方法得到呢？有没有更好的方法呢？这节课我们来学习余弦函数的图象与性质． 知识点　余弦函数的图象与性质 函数 y＝cos x 图象 函数 y＝cos x 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 周期性 周期函数，T＝2π 奇偶性 偶函数，图象关于y轴对称 单调性 在，k∈Z上是单调递增的； 在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上是单调递减的 1．如何由y＝sin x，x∈R的图象得到y＝cos x，x∈R的图象？ [提示]　只需将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位即可得到y＝cos x，x∈R的图象． 2．余弦曲线对称轴与对称中心分别是什么？ [提示]　余弦曲线对称轴方程是x＝kπ，k∈Z；对称中心坐标为，k∈Z. 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y＝cos 的最小正周期为2π. (　　) (2)函数y＝－cos x在区间[0，π]上是增函数． (　　) (3)函数y＝sin 是奇函数． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 类型1　“五点法”作图 【例1】　画出函数y＝1－cos x，x∈的图象． [解]　按五个关键点列表： x 0 π 2π y 0 1 2 1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来 如图所示： 1．画余弦函数的图象，与画正弦函数图象的方法一样，关键要确定五个关键点．这五个点的坐标是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2．形如y＝a cos x＋b，x∈的函数，也可由五点法画图象． [跟进训练] 1．用“五点法”画出y＝3＋2cos x，x∈的图象． [解]　(1)列表 x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 (2)描点，连线，如图所示： 类型2　余弦函数的单调性及其应用 【例2】　(1)求函数y＝3－cos x的单调增区间； (2)比较大小：cos ________cos . (1)y＝3－cos x的单调性与y＝－cos x的单调性一致，与y＝cos x的单调性相反；(2)利用诱导公式转化到同一单调区间上来比较大小． (1)[解]　由于y＝cos x的单调减区间为，k∈Z， 所以函数y＝3－cos x的单调增区间为，k∈Z. (2)<　[由于cos π＝cos ＝cos ， cos ＝cos ， 又∵<，而y＝cos x在上单调递减， ∴cos >cos ，即cos <cos .] 1．形如y＝a cos x＋b(a≠0)函数的单调区间 (1)当a>0时，其单调性同y＝cos x的单调性一致； (2)当a<0时，其单调性同y＝cos x的单调性恰好相反． 2．比较cos α与cos β的大小时，可利用诱导公式化为内的余弦函数值来进行比较． [跟进训练] 2．求函数y＝2cos (－x)的单调增区间． [解]　由于y＝2cos (－x)＝2cos x，y＝cos x的递增区间为，k∈Z， 因此，y＝2cos (－x)的单调增区间为，k∈Z. 3．已知x∈[0，π]，f (x)＝sin (cos x)的最大值为a，最小值为b，g(x)＝cos (sin x)的最大值为c，最小值为d.试判断a、b、c、d的大小关系． [解]　∵x∈[0，π]，∴cos x∈[－1，1]，sin x∈[0，1]. ∵当t∈时，函数y＝sin t单调递增，且[－1，1]⊆. ∴当t∈[－1，1]时，函数y＝sin t单调递增． ∴当cos x＝－1时，f (x)取最小值b＝sin (－1) ＝－sin 1；当cos x＝1时，f (x)取最大值a＝sin 1. 同理根据函数y＝cos t在[0，π]上单调递减． 当sin x＝0时，g(x)取最大值c＝cos 0＝1； 当sin x＝1时，g(x)取最小值d＝cos 1. 又∵＜1＜，∴sin 1＞cos 1＞0. ∴－sin 1＜0＜cos 1＜sin 1＜1，即b＜d＜a＜c. 类型3　与余弦函数有关的值域或最值问题 【