（讲义）第1章 §5 5.1 正弦函数的图象与性质再认识-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 1．能用“五点法”画正弦函数在[0，2π]上的图象．(重点) 2．理解正弦曲线的意义．(难点) 3．掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期，单调区间和最值．(难点) 1．通过画正弦函数的图象，培养直观想象素养． 2．通过正弦函数性质的应用，培养数学运算素养． 同学们坐过摩天轮吗？图片中展示的是被誉为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造桥轮合一的摩天轮，非常壮观！来到摩天轮前，我们会很自然的想到一些现实中的问题：我们登上摩天轮转一圈需要多久？我们转到什么位置能俯瞰整个天津市？ 知识点1　正弦函数的图象 在函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的有五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．我们称这种作正弦曲线的方法为“五点法”． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝sin x在[0，2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同． (　　) (2)函数y＝sin x的图象介于直线y＝－1和y＝1之间． (　　) (3)函数y＝sin x的图象关于x轴对称． (　　) (4)用“五点法”画函数y＝sin x在区间[－π，π]上的简图时，是其中的一个关键点． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 知识点2　正弦函数y＝sin x的性质 函数 y＝sin x 定义域 R 值域 [－1，1] 奇偶性 奇函数 周期性 周期函数，T＝2π 单调性 在(k∈Z)上是单调递增的； 在(k∈Z)上是单调递减的 最值 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1 正弦曲线有对称轴和对称中心吗？分别如何表示？ [提示]　正弦函数曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．函数y＝sin x(x∈R)的对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心是点(kπ，0)(k∈Z). 2．函数y＝sin 取得最大值的x的集合是________． 　[当且仅当x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)时， y＝sin 取最大值． 故x的集合为.] 类型1　“五点法”作图 【例1】　用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象. [解]　(1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 (2)描点、连线，图象如图． 1．令x分别取0，，π，，2π，然后求出相应的y值，便得到决定图象特征的五个关键点． 2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向． [跟进训练] 1．作出函数y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图． [解]　列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图． 类型2　利用正弦函数图象解不等式 【例2】　利用y＝sin x的图象，在[0，2π]内求满足sin x≥－的x的取值范围． [解]　列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 描点，连线如图，同时作出直线y＝－的图象． 由图象可得sin x≥－的x的取值范围为 ∪. 用三角函数图象解三角不等式的方法 (1)作出相应正弦函数在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； (3)根据所给条件写出不等式的解集． [跟进训练] 2．利用正弦曲线，求满足<sin x≤ 的x的集合． [解]　作出y＝sin x在[0，2π]上的图象，如图所示．作直线y＝，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和. 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和. 观察图象可知，在[0，2π]上， 当<x≤ 或 ≤x<时，不等式<sin x≤ 成立． 所以<sin x≤ 的解集为 ． 类型3　正弦函数性质及应用 　最值与值域问题 【例3】　求下列函数的值域． (1)y＝2－sin x； (2)y＝sin2x－4sinx＋5，x∈. [解]　(1)由正弦函数y＝sin x的值域为[－1，1]， 得函数y＝2－sin x的值域为[1，3]. (2)令t＝sin x，由x∈，得0≤t≤1