（讲义）第1章 §4 4.3 诱导公式与对称 4.4 诱导公式与旋转-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

4.3　诱导公式与对称 4.4　诱导公式与旋转 1．了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．(重点) 2．理解诱导公式的推导过程．(难点) 3．能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题．(难点) 1．借助诱导公式的推导，培养逻辑推理素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养． 南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形． 南京眼的桥身的完美对称　辽宁生命之环的完美对称 问题　你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？ 知识点1　2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立： sin (2kπ＋α)＝sin α，cos (2kπ＋α)＝cos α． sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α． sin (α－π)＝－sin α，cos (α－π)＝－cos α． sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α． sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α． 这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号． 1．sin 585°的值为(　　) A．－ B． C．－ D． A　[sin 585°＝sin (360°＋225°) ＝sin (180°＋45°) ＝－sin 45°＝－.故选A.] 知识点2　±α的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立： sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α． sin ＝cos_α，cos ＝sin_α． 这两组诱导公式的记忆：－α，＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”． 设α为任意角，则角±α与α的终边有什么关系？ [提示]　＋α的终边与α的终边垂直，－α的终边与α的终边关于y＝x对称． 2．若sin α＝，则cos 的值为(　　) A． B． C．－ D．－ C　[∵sin α＝， ∴cos ＝－sin α＝－.故选C.] 类型1　条件求值 　给角求值问题 【例1】　求下列三角函数的值： (1)sin ；(2)cos 960°. [解]　(1)sin ＝－sin π ＝－sin ＝－sin π＝－sin ＝－sin ＝－. (2)cos 960°＝cos (240°＋2×360°)＝cos 240° ＝cos (180°＋60°)＝－cos 60°＝－. 　给值求值问题 【例2】　已知sin (α－75°)＝－，求sin (105°＋α)的值． [解]　sin (105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)] ＝－sin (α－75°)＝. 利用诱导公式求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中的角之间的联系，例如105°＋α与75°－α互补，－α与＋α互余． [跟进训练] 1．已知sin ＝，求cos 的值． [解]　cos ＝cos ＝cos ＝sin ＝. 类型2　利用诱导公式化简和证明 【例3】　化简：cos ＋cos (π－α)(n∈Z). 先对n进行奇偶讨论，再使用诱导公式． [解]　原式＝cos ＋cos [nπ－(＋α)]. 当n为偶数时， 原式＝cos ＋cos ＝2cos . 当n为奇数时， 原式＝cos ＋ cos [π＋π－]＝cos [π＋(＋α)]＋cos [π－] ＝－cos －cos ＝－2cos . 综上可知，原式＝ . [母题探究] 若将本例中的“cos”改为“sin”应如何化简？ [解]　原式＝sin ＋sin . 当n为偶数时， 原式＝sin ＋sin ＝sin －sin ＝0. 当n为奇数时， 原式＝sin [(n－1)π＋π＋(＋α)]＋sin [(n－1)π＋π－(＋α)]＝sin [π＋(＋α)]＋sin [π－(＋α)]＝－sin (＋α)＋sin (＋α)＝0. 综上可知，原式＝0. 利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有kπ±α，π±α(k∈Z)时，要注意对k的奇偶性进行讨论． [跟进训练] 2．化简：. [解]　原式＝ ＝＝sin θ． 类型3　诱导公式的综合应用 【例4】　已知sin (α－3π)＝2cos (α－4π)，求的值． [