（讲义）第1章 §4 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 1．了解单位圆与正弦、余弦函数的关系． 2．掌握任意角的正弦、余弦函数定义．(重点) 3．掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号．(重点) 1．通过正弦、余弦函数定义的学习，培养数学抽象素养． 2．通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断，培养逻辑推理素养． 在初中，由于学习的知识不够深入和认知的差异，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义，这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质，并对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义． 如何定义一般情形下的三角函数的定义呢？ 知识点1　任意角的正弦、余弦函数 (1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P. 正弦函数sin α 余弦函数cos α 定义 点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数值，记作v＝sin α 点P的横坐标u叫作角α的余弦函数值，记作u＝cos α 在各象限的符号 已知Q是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？ [提示]　sin α＝，cos α＝. 1．点P(sin 2 020°，cos 2 020°)位于第________象限． 三　[∵2 020°＝5×360°＋220°， ∴2 020°是第三象限角， ∴sin 2 020°<0，cos 2 020°＜0， ∴点P位于第三象限．] 知识点2　正弦函数、余弦函数的基本性质 性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 定义域 R 值域 最大值与最小值 当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝π，k∈Z时，ymin＝－1 周期性 周期函数，T＝2π 单调性 在，k∈Z上单调递增； 在，k∈Z上单调递减 在[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上单调递增；在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上单调递减 2．已知sin x＝2m＋3，且x∈， 则m的取值范围是________． －≤m≤－　[∵x∈， ∴结合单位圆知sin x∈， 即－ ≤2m＋3≤ . ∴－ ≤m≤－.] 类型1　三角函数的定义及应用 【例1】　已知角α的终边过点P，求2sin α＋cos α的值． [解]　r＝＝5|a|. ①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－， ∴2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a<0，则r＝－5a， 角α在第四象限， sin α＝＝－， cos α＝＝， ∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 1．在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离为r，则sin α＝，cos α＝. 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． [跟进训练] 1．已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α的值． [解]　因为角α的终边在直线y＝x上， 所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点， 则r＝＝2|a|(a≠0). 若a>0，则r＝2a， 所以sin α＝＝，cos α＝ ＝ . 若a<0，则r＝－2a， 所以sin α＝ ＝－， cos α＝－＝－. 类型2　正弦、余弦函数值符号的判断 【例2】　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)判断下列各式的符号． ①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4. (1)D　[∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D．] (2)[解]　①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos (－210°)＜0. ②∵＜3＜π，π＜4＜， ∴sin 3＞0，cos 4＜0， ∴sin 3·cos 4<0. 对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理． [跟进训练] 2．若三角形的两内角A，B满