（讲义）第1章 §3 弧度制-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§3　弧度制 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．(重点、难点) 2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点) 3．掌握弧度制中弧长公式和扇形的面积公式．(重点) 1．通过弧度制的建立过程，培养逻辑推理素养． 2．通过弧度制与角度制的换算以及弧长公式和扇形的面积公式的应用，提升数学运算素养． 度量长度可以用米、英尺等不同的单位制，度量重量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量也可以用不同的单位制，那么测量角除了角度外，是否还有其他单位，它是怎样定义的？ 这就是本节课我们要重点研究的问题． 知识点1　弧度制的定义 在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 1．在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？ [提示]　确定． 知识点2　角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57°18′ 2．(1)在角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？ (2)在弧度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少弧度？ [提示]　(1)1度；(2)弧度． 1．(1)与120°角终边相同的角为(　　) A．2kπ－ (k∈Z)　　 B． C．2kπ－(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z) (2)－化为角度应为(　　) A．－345° B．－15° C．－315° D．－375° (1)C　(2)A　[(1)120°＝且2kπ－＝(2k－4)π＋(k∈Z)， ∴120°与2kπ－(k∈Z)，终边相同．故选C. (2)－＝－ ×180°＝－345°.故选A.] 知识点3　弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝αr 扇形的面积 S＝ S＝lr＝αr2 2．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________． 　[由弧长公式l＝αR，得α＝＝＝.] 类型1　弧度制的概念 【例1】　(多选题)下列说法中，正确的是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小有关 ABC　[A正确； 1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正确； 根据弧度的定义，180°一定等于π弧度，C正确． 根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误，故选ABC.] 1．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.1度的角是周角的，1弧度的角是周角的. 2．在角度制下，角x与其正弦sin x无法进行运算，在弧度制下，角x是一个实数，与其正弦sin x就可以进行运算，这拓展了我们所研究函数的范围． [跟进训练] 1．下列各说法中，错误的说法是(　　) A．半圆所对的圆心角是πrad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 D　[根据1rad的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 rad的角． 对照选项，知A、B、C正确，D选项错误．] 类型2　角度制与弧度制的互化 【例2】　将下列各角度与弧度互化． (1)112°30′；(2)π rad；(3)－3 rad. [解]　(1)112°30′＝112.5°＝ rad×112.5＝ rad. (2)π rad＝×180°＝405°. (3)－3 rad＝－3×≈－171.9°. 1．在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad＝180°是解题的关键． 2．一些特殊角30°，45°，60°，90°，270°等的弧度数与度数的对应制今后常用，应熟记． 3．弧度与角度在表示角时，二者不可混合使用，如β＝2kπ＋30°(k∈Z)，这种方法是不恰当的． [跟进训练] 2．把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π. [解]　∵－1480°＝×(－1480)＝－. 又∵－＝－10π＋π， 且0≤π<2π. ∴－1480°＝2×(－5)π＋π. 类型3　弧长公式与扇形面积公式 【例3】　已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 先用半径r表示弧长，再依据S＝lr建立扇形面积S与半