（讲义）第1章 §2 任意角-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§2　任意角 1．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点) 2．掌握终边相同的角的含义及其表示．(难点) 1．通过对任意角与象限角的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助终边相同的角的表示，培养数学运算素养． 周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在7：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间7：30，并开始正常的学习． 小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？ 知识点1　角的概念 角可以看成平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边． 知识点2　按照角的旋转方向，分为如下三类 类型 定义 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)小于90°的角都是锐角． (　　) (2)终边与始边重合的角为零角． (　　) (3)大于90°的角是钝角． (　　) (4)将时钟拔快20分钟，则分针转过的度数是120°. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 知识点3　象限角 如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 1．第二象限角比第一象限角大吗？ [提示]　不一定．如120°是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°. 2．－300°是第(　　)象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 A　[因为－300°的终边和60°的终边相同，所以它是第一象限角，故选A.] 知识点4　终边相同的角 给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 2．终边相同的角一定相等吗？ [提示]　不一定．如30° 与390°角的终边相同，但并不相等． 3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤ α<360°，k∈Z)的形式是________． [答案]　195°＋(－3)× 360° 类型1　角的概念的推广 【例1】　写出下图中的角α，β，γ的度数． (1)　　　　　　　　　(2) [解]　由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°. 1．理解角的概念的三个“明确” 2．表示角时的两点注意 (1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“ α”. (2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负． [跟进训练] 1．(1)图中角α＝________，β＝________； (2)经过10 min，分针转了________． (1)－150°　210°　(2)－60°　[(1)α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°. (2)分针按顺时针转过了周角的，即－60°.] 类型2　终边相同的角 【例2】　已知α＝－1 190°. (1)把α写成β＋k× 360°(k∈Z，0°≤ β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤ θ＜0°. [解]　(1)α＝－1190°＝250°－4×360°，其中β＝250°，它是第三象限角． (2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)， 取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 所以θ为－110°，－470°. 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值即可． [跟进训练] 2．写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合． [解]　终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}． 同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤ α≤ 60°＋n·180°，n∈Z}． 类型3　象限角 【例3】　写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合． 以终边相同的角为切入点，思考如何表示第一、二象限内的角． [解]　第一象限