（讲义）第1章 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

类型1　三角函数的定义及诱导公式 1．利用定义求三角函数值的两种方法 (1)先求出角α的终边与单位圆的交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值． (2)在角α的终边上任取一点P(a，b)(原点除外)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 2．用诱导公式化简求值的方法 (1)将角化成2kπ±α，π±α，±α的形式，是三角函数式化简与求值的关键． (2)解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于建立已知和未知的联系，还应注意整体代换的应用． 【例1】　(1)若点P在角π的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为(　　) A．(1，) B．(，－1) C．(－1，－) D．(－1，) (2)sin ＝(　　) A． B．－ C． D．－ (1)D　(2)B　[(1)根据三角函数的定义，设P(x，y)，x＝|OP|cos π＝2×＝－1，y＝|OP|sin π＝2× ＝.∴P点的坐标为(－1，). (2)sin(－510°)＝－sin 510°＝－sin 150°＝－sin 30°＝－.] 类型2　三角函数的图象 1．用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表，由ωx＋φ＝0，，π，，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值； 第二步：在同一坐标系中描出各点； 第三步：用光滑曲线连接这些点． 2．对于三角函数图象变换问题，首先要利用诱导公式将不同名函数转换成同名函数；另外，在进行图象变换时，可先平移后伸缩，也可以先伸缩再平移，无论哪种变换，记住每一个水平变换总是对变量x而言的． 【例2】　函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一段图象如图所示． (1)求f (x)的解析式； (2)把f (x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ [解]　(1)由函数图象知A＝3，＝×＝5π，故ω＝. 由f (x)＝3sin 过点， 得3sin ＝0， 又<，故φ＝－， ∴f (x)＝3sin . (2)由f＝3sin ＝3sin 为偶函数(m＞0)， 知m－＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z. ∵m＞0，∴mmin＝. 故至少把f (x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数． 类型3　三角函数的性质 1．求三角函数值域(最值)的方法 (1)利用sin x，cos x的有界性． (2)从y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误． 2．对于y＝A sin (ωx＋φ)，在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. 【例3】　已知函数f (x)＝2sin ＋a＋1(其中a为常数). (1)求f (x)的单调区间； (2)若x∈时，f (x)的最大值为4，求a的值． (3)求f (x)取最大值时x的取值集合． (1)将2x＋看成一个整体，利用y＝sin x的单调区间求解． (2)先求x∈时，2x＋的范围，再根据最值求a的值． (3)先求f (x)取最大值时2x＋的值，再求x的值． [解]　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f (x)的单调递增区间为 ，k∈Z， 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f (x)的单调递减区间为，k∈Z. (2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤， ∴－≤sin ≤1， ∴f (x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1. (3)∵当f (x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ(k∈Z)， ∴2x＝＋2kπ，∴x＝＋kπ，k∈Z. ∴当f (x)取最大值时，x的取值集合是 . 类型4　数形结合思想 所谓数形结合的思想就是把问题的数量关系转化为图形特征去研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图象研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象． 【例4】　函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f (x1)＝f (x2)，则f (x1＋x2)＝_____． 　[观察图象可知，A＝1，T＝π， ∴ω＝2，f (x)＝sin (2x＋φ). 将代入上式得