专题16对数函数（4个知识点4个拓展2个突破6种题型5个易错点）-【倍速学习法】2023-2024 学年高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第一册）

专题16对数函数（4个知识点4个拓展2个突破6种题型5个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.对数函数的概念 知识点2.对数函数的图象和性质 知识点3.不同函数的增长差异 知识点4.反函数 拓展1.求对数函数的定义域 拓展2.求对数函数的值域或最值 拓展3.比较对数式的大小 拓展4.解对数不等式 突破1.对数函数的图象 突破2.反函数 【方法二】 实例探索法 题型1.对数函数的概念 题型2.对数函数的图象 题型3.对数函数的性质 题型4.对数函数与指数函数互为反函数 题型5.一次函数、指数函数和对数函数的不同增长 题型6.三种函数的图象与性质应用 【方法三】差异对比法 易错点1.忽略对底数的讨论而致错 易错点2.忽略复合函数中函数的定义域而致错 易错点3.忽略复合函数中函数的值域而致错 易错点4.忽略分段函数的定义域分界点而致错 易错点5.忽略函数图象增长的快慢而致错 【方法四】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.对数函数的概念 1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 要点诠释： （1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。 （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。 【例1】（2023上·高一课时练习）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点2.对数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，y＜0， 当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0， 当x≥1时，y≤0 要点诠释： 关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0. 1．底数制约着图象的升降． 如图 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图) 【例2】（2023上·全国·高一专题练习）已知对数函数，且）的图象经过点，求的值. 知识点3.不同函数的增长差异 三种常见函数模型的增长差异 函数类型 指数函数 对数函数 一元一次函数 解析式 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 单调性 在(0，＋∞)上单调 图象(随x的增大) 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 直线逐渐上升 增长速度 (随x的增大) y的增长速度越来越____ y的增长速度越来越____ y值逐渐增加 增长关系 存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax 解读：三种函数模型的增长规律： 1.对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快． 2.指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)． 3.指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn. 【例3】（2023·四川泸州·统考）函数的图象与函数，，的图象交点的横坐标分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式】（2023上·四川南充·高一四川省南充高级中学校考阶段练习）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点4.反函数 1．反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，