专题11 利用导数证明不等式-2024年新高考数学二轮复习重难点突破练（新高考专用）

专题11 利用导数证明不等式 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．设是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有 A． B． C． D． 5．已知定义在R上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数和都是定义域为的函数，且满足，且恒成立，那么当时，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（    ） A．或 B． C．存在实数a，使得 D． 二、多选题 9．下列不等式中恒成立的有（    ） A．， B．， C． D． 10．已知函数，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．若0<x1<x2<1，且1<x3<x4，下列命题：①；②；③；④；其中正确的有 14．已知，，，其中为自然对数的底数，则，，由大到小依次为 ． 15．已知函数，的最小值分别为，则的大小关系为 . 16．若，为自然数，则下列不等式：①；②；③，其中一定成立的序号是 ． 四、解答题 17．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：对任意的，． 18．已知函数，（）． (1)若存在两个极值点，求实数的取值范围； (2)若，为的两个极值点，证明：． 19．已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 20．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知m，n是正整数，且，证明． 21．已知函数且. (1)求的值； (2)证明：当时，. 22．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 利用导数证明不等式 一、单选题 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【解析】令，则，令恒成立， 即在定义域单调递增，且 因此在区间上必然存在唯一使得， 所以当时单调递减，当时单调递增，故A，B均错误； 令，，当时，，∴在区间上为减函数， ∵，∴，即，∴选项C正确，D不正确. 故选:C. 2．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】先用导数证明这两个重要的不等式 1 ，当且仅当时取“=”，，， ，函数递减， 函数递增 故时函数取得最小值为0 故，当且仅当时取“=” 2 ，当且仅当时取“=”，，， ，函数递增，函数递减，故时函数取得最大值为0， 故，当且仅当时取“=”，故， 故选：C 3．设是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有 A． B． C． D． 【解析】是定义在上的非负可导函数，即，且满足，故不为常数函数，令，则，在上单调递减 又，且非负，于是有： ①，又，所以 ②，两式相乘得： 所以A选项是正确的.故选：A 4．若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，，又，，所以.故选：B. 5．已知定义在R上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，则， 又，，所以，所以在上单调递减， 由1>0可得，故A错；   由2>1可得，即，故B错； 由，∴∴，故C正确； 因为，所以．得，故D错误故选：C 6．已知函数和都是定义域为的函数，且满足，且恒成立，那么当时，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由可得：， 令，，所以在上单调递增， 若，则，所以， 因为，所以恒为正或恒为负， 所以，， ，所以， 所以，故D不正确； ，， ，， 故，故C正确，A不正确； 对于B，若恒为正，且单调递减，则，由， 若恒为正，且单调递增，则，由， 则有，故B不正确；故选：C. 7．下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A：令，， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B：令，， 所以在上，，单调递减，在，上，，单调递增， 所以，所以， 所以，，故B正确； 对于C：令，，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以（1）， 所以，所以，所以，故C正确； 对于D：取，得，故D错误， 故选：D 8．已知函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（    ） A．