专题1-3 一网打尽13类向量压轴小题共108题-2023-2024学年高一下学期数学模型·方法·技巧专题突破（人教A版2019必修第二册）

专题1-3 一网打尽13类向量压轴小题共108题 知识点梳理 题型一 基底的拆分与数量积 题型二 极化恒等式求向量的数量积及最值 题型三 投影法求向量的数量积及其最值 题型四 利用函数求向量中的最值 题型五 建系法求向量的数量积及其最值 题型六 向量共线定理：构造方程组求系数 题型七 向量共线定理：结合不等式求最值 题型八 等和线问题 题型九 三角形四心向量性质的识别 题型十 三角形四心与数量积计算 题型十一 奔驰定理解面积比 题型十二 奔驰定理与四心的综合 题型十三 向量中的隐圆问题 知识点梳理 一、极化恒等式求数量积A B C M 在三角形ABC中（M为BC的中点），证明： 证明（基底法）：因为， 所以 二、投影法求数量积 如图， 对于，其中是在上的投影， 在Rt△PBH中，故， 考虑到可能为钝角，故写成. 三、常见建立坐标系方法 边长为的等边三角形 正方形 已知夹角的任意三角形 矩形 直角梯形 平行四边形 等腰梯形 圆 四、平面向量共线定理的推论 已知，则是三点共线的充要条件 证明①：若 则. 即，共线，故A，B，C三点共线，充分性满足. 证明②：若A，B，C三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得. 故. 令，则有，必要性成立. 五、等和线相关性质 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 1．当等和线恰为直线AB时，k等于1． 2．定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 1．当等和线恰为直线AB时，k等于1． 2．定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． 四、四心的向量性质 【重心】：若O为△ABC重心 （1）； （2）； （3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心 （4）动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 （5）重心坐标为：. 【垂心】：若O为△ABC垂心 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 （4） （5）. 【内心】：若O为△ABC内心 （1） （2） （3）动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心 （4） 【外心】：若O为△ABC外心 （1）； （2）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心； （3）若，则是的外心； （4）； （5）. 五、奔驰定理 奔驰定理：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 考点六：三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 六、向量中的隐圆问题 角度一、定值圆（由模长是构造圆） 记A,B,C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆 有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式 角度二、直径圆 圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量a，b的垂直条件体现为，，等． 角度三、外接圆（定边定角） 均为定值时，可以构造圆 在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a，b，a-b)，且给出边一对角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题． 角度四、四点共圆（对角互补） 圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸． 题型一 基底的拆分与数量积 【例题讲解】 1． 已知边长为1的等边△ABC，，则（　　） A． B．3 C． D．6 2． 在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则＝_______． 3． 骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图