专题1-2 向量的数量积，基本定理及坐标表示13类题型133题-2023-2024学年高一下学期数学模型·方法·技巧专题突破（人教A版2019必修第二册）

专题1-2 向量的数量积，基本定理及坐标表示13类题型133题 知识点梳理 题型一 利用定义求向量的数量积 题型二 向量垂直的应用 题型三 向量模长相关计算 题型四 向量夹角相关计算 题型五 向量的投影向量 题型六 对向量基本定理的概念理解 题型七 基底的判断 题型八 向量的坐标运算 题型九 利用坐标求向量共线，垂直问题 题型十 数量积的坐标运算 题型十一 利用坐标求向量的夹角 题型十二 利用坐标求向量的模长 题型十三 利用坐标表示投影向量 知识点梳理 一、向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 的几何意义是等于的长度与在的方向上的投影的乘积。也等于与在方向上的投影的乘积。其中在方向上的投影与在方向上的投影是不同的，在方向上的投影可以写为 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且 （3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 4、平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是与同方向的单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）； （5） 5、平面向量数量积的运算律 （1）； （2）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 二、平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 4、平面向量基本定理的应用 （1）平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 （2）重要结论设是平面内一个基底， 若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 三、平面向量的坐标运算 1、向量和差运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、向量数乘运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是 题型一 利用定义求向量的数量积 【例题讲解】 1． 已知向量，满足，，则　　 A．4 B．3 C．2 D．0 2． 已知等边三角形的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 3． （2021新高考2卷）已知向量_______． 【巩固练习】 4． 已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．14 5． 设向量与夹角的余弦值为，且，则（    ） A． B． C．3 D．-3 6． 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 . 7． 如图，在中，，，，的值为________；是边上一点，且，则的值为________ A．2 B．8 C． D． 题型二 向量垂直的应用 【例题讲解】 8． 已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________. 9． 已知是空间中两两不共线的非零向量，则“，”是“，”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习】 10． 设平面向量，均为单位向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11． 已知两个单位向量a，b的夹角为60