专题1-1 向量的概念及线性运算九大题型-2023-2024学年高一下学期数学模型·方法·技巧专题突破（人教A版2019必修第二册）

专题1-1 向量的概念及线性运算九大题型 知识点梳理 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、向量共线定理 四、常见模型补充：向量中的定比分点恒等式（爪型图） 题型一 向量的相关概念辨析 题型二 在几何图形中识别相等向量或共线向量问题 题型三 平面向量的加法、减法、数乘运算 题型四 用已知向量表示其他向量 题型五 由平面向量的性质判断图形的形状 题型六 平面向量共线定理 题型七 向量共线证明三点共线 题型八 利用向量共线求参数 题型九 平面向量共线定理的推论（提高篇） 【1】利用系数和为“1”快速求参数 【2】向量写2次，结合系数和为“1”求参数 【3】系数和为定值问题以及结合基本不等式求最值 知识点梳理 力、位移、速度等有各自的特性,而“既有大小,又有方向”是它们的共同属性。我们知道,从一支笔、一棵树、一本书……中,可以抽象出只有大小的数量“1”。类似地,我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象,形成一种新的量. 一、向量的概念 (1)向量与数量的概念 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫作向量,而把只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量. (2)向量与数量的区别 数量是一个代数量,可以比较大小,物理学中称为标量;向量不能比较大小,物理学中称为矢量. 1、向量的模：向量的大小叫向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模),记作 模的特点：（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作或0，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。 如果向量与平行,那么可记作，规定：与任一向量共线. 【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． 4、若两向量共线,则两向量所在的直线有平行和重合两种可能 5、零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”,要特别注意 6、向量相等具有传递性,即若,则。而向量的平行不具有传递性,即若,未必有。因为零向量平行于任意向量,当时,可以是任意向量,所以与不一定平行。但若,则必有 二、向量的线性运算 1. 求两个向量和的运算,叫作向量的加法 (1)对于零向量与任意向量,我们规定，在四边形中, (2)向量加法的三角形法则 使用三角形法则特别要注意“首尾相接”,如设,则。 (3)向量加法的平行四边形法则 如图,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作□,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和。我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则 2. 向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定,与向量长度相等,方向相反的向量,叫作的相反向量,记作。零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有:(1);(2)若互为相反向量,则,. (2)向量的减法 向量加上的相反向量,叫作与的差,即。 (3)向量减法的作图法 因为,所以求就是求这样一个向量,使它与的和等于,从而得出的作图法：已知向量,在平面内任取一点,作,可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，即. 向量减法的三角形法则记忆口诀:共起点,连终点,指向被减。 3. 向量的数乘运算 向量数乘的定义 (1)一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘,记作,它的长度与方向规定如下: 当时,的方向与的方向相同; 当时,的方向与的方向相反; 当时, (2)关于对实数与向量的积的理解:我们可以把向量的长度扩大(当时)，也可以缩小(当时)，同时,我们可以不改变向量的方向(当时),也可以改变向量的方向(当时). (3)实数与向量的积的特殊情况:当时,;而时,若,也有。 (4)实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,比如无法运算。 实数与向量的积满足的运算律 (1) 设为实数,那么(结合律) ,(第一分配律) 。(第二分配律) (2)实数与向量的积也叫作向量的数乘 (3)要清楚向量的数乘与数乘数的区别,前者结果是一个向量,后者结果是一个数,并且前者满足两种分配律,后者只有一种分配律 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1)