6.2.1向量的加法运算 教学设计——2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教A版必修第二册《 向量的加法运算》 (1) 教学内容 平面向量的加法运算,运算规则、几何意义和运算律. (2) 教学目标 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则,并理解其几何意义. 2.理解平面向量加法运算的运算律和运算性质. (三)教学重点与难点 重点:向量加法运算的运算法则及其几何意义. 难点:对向量加法运算法则定义的理解. (四)教学过程设计 【引入新课】 问题1:初中,我们学习过数的运算、代数式的运算,高中我们学习了集合的运算,平面向量,又有哪些运算呢? 答案:向量的运算包括向量的加法运算、向量的减法、数乘运算和向量的数量积运算. 设计意图:通过对这一单元内容的预习,让学生明晰本单元的学习目标,初步搭建平面向量学习内容的框架,对向量的运算有一个初步的认识. 【课堂探究】 问题2:如图所示,假设某人上午从点A到达了点B,下午从点B到达了点C. (1)分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天的位移; (2)这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么联系?试从大小和方向两个角度加以阐述. 答案:(1)上午的位移是,下午的位移是,一天的位移是.(2)位移可以看成位移与的和. 设计意图:给出了向量加法的实际背景,这说明了研究向量加法的意义及合理性.这一内容的设置,旨在说明从生活中能抽象出数学问题,以此激发学生的学习热情. 引语:而本节课要讲的内容即为向量的加法.(板书:向量的加法) 已知两个非零向量,,在该平面内任取一点A,作,作出向量,则向量称为向量,的和(也称为向量,的和向量).向量,的和向量记作,因此(如图1). 求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 因为正好能构成一个三角形,因此这种求两向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. 图1 问题3 从物理学中我们已经知道,力既有大小也有方向,因此力是向量. 当在光滑的水平面上沿两个不同的方向拉动一个静止的物体时,如图所示,物体会沿着力或所在的方向运动吗?如果不会,物体的运动方向将是怎样的? 答案:合力在以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于对角线的长. 设计意图:视学生的情况,引导学生联想到平抛物体时,物体运动速度的求法也遵循平行四边形法则.还可以引导学生举出更多实际生活中的例子,这样可以开阔学生的学习思路,提高学习兴趣. 我们知道,物理学中力的合成遵循平行四边形法则.因此,情境中的物体不会沿着或所在的方向运动,其会沿着以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线运动. 追问1 从向量的角度进行分析,力和为起点相同的两个向量,你能得到求两个向量和的另一个法则吗? 答案:以同一点O为起点的两个已知向量,,以OA,OB为邻边做,则以O为起点的向量(OC是的对角线)就是向量与的和.我们把这种做两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 追问2 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗?为什么? 答案:一致,如图由向量加法的三角形法则,.过点A做BC的平行线,过点C做AB的平行线,所做的两条直线相交于点D,四边形ABCD是平行四边形.由平行四边形的性质得AD=BC,所以.由向量加法的平行四边形法则也可得出,所以向量的三角形法则与平行四边形法则是一致的. 例1 如图,已知向量,,求做向量. 作法1:在平面内任取一点O,做,.则. 作法2: 在平面内任取一点O,做,.以OA,OB为邻边作,连接OC,则 . 问题4 当向量,共线时,是怎样的呢? 答案:(1)如果,中有一个向量为零向量,不妨设,则有,与实数加法类似; (2)当,共线且,均不为零时,它们可以看作在数轴上的两个向量相加,其结果是一个向量,对应数轴上的一条有向线段,它们的和如下图所示. 两向量同向 两向量反向 追问1:向量,共线,它们的加法与数的加法有什么关系? 答案:(1)与实数加法(即标量的加法)运算不同,实数加法是数值的运算,而向量的加法既要关注大小又要关注方向,两者有本质区别; (2)由定义可知两个向量的和仍然是向量.除了需要通过作图来帮助学生理解两个向量的和之外,还需要带领学生分析的代数特点,要向学生说明:从左边往右边看,等式左边的两个向量,其中一个向量的终点与另外一个向量的始点是一样的,而右边的向量相当于消去了这个点;从右边往左边看,相当于是引入了个新的字母,而且引入的这个新字母是任意的. (3)容易看出,当向量,共线时,以的终点做为的起点作出,就是连接的起点与的终点的向量(即首尾相接,再首尾相连) ,此时也符合向量加法的三角形法则. 追问2:结合向量的加法运算,说一说,,之间的关系. 答案:(1)当,不共线时,由向量加法的三角形法则,根据三角形两边的和大于第三边,. (2)当,共线时, ,方向相同,;,方向相反,(或),其中当向量的长度大于向量的长度时,,当向