第10讲：导数期末题型突破（单调性、不等式、零点、恒成立） （必刷10大考题+10大题型） -2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019）

第10讲：导数期末题型突破（单调性、不等式、零点、恒成立） 【考点梳理】 考点一、利用导数研究函数的单调性问题 考点二、利用导数研究函数的极值与最值问题 考点三、利用导数研究恒成立问题 考点四：利用导数研究能成立问题 考点五：利用导数研究零点问题 考点六：利用导数研究方程的根问题 考点七：利用导数研究函数性质和图像问题 考点八：利用导数研究双变量问题 考点九：利用导数研究实际问题 考点十、利用导数研究不等式问题 【知识梳理】 知识点一：求不等式恒成立问题的方法 （1）分离参数法 若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. （2）数形结合法 结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题. （3）主参换位法 把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解. 知识点二：函数存在性和恒成立问题，下述结论： ①存在解；恒成立； ②存在解；恒成立； ③存在解；恒成立； ④存在解；恒成立 知识点三：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【题型归纳】 题型一、利用导数研究函数的单调性问题 1．（2023下·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数 (1)若，讨论的单调性. (2)当时，都有成立，求整数的最大值. 题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题 4．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022上·江西宜春·高二校考期末）设函数，若，使得，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 6．（2023上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）已知函数. (1)讨论的极值； (2)求在上的最大值. 题型三、利用导数研究恒成立问题 7．（2023下·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 8．（2023下·新疆喀什·高二统考期末）已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2023下·河南新乡·高二统考期末）若关于x的不等式对任意恒成立，则整数m的取值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四：利用导数研究能成立问题 10．（2023·四川乐山·统考二模）若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2023下·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）若在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：利用导数研究零点问题 13．（2023下·广东韶关·高二统考期末）已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2022上·江苏扬州·高二江苏省邗江中学校考期末）设函数，，函数有两个零点的m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数，其中. (1)讨论函数在上的极值； (2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围. 题型六：利用导数研究方程的根问题 16．（2023下·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知函数，则方程的根的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 17．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）设为实数，若关于的方程有两个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2023下·内蒙古赤峰·高二赤峰红旗中学松山分校校联考期末）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)令，若有两个不相等的实数根. （i）求a的取值范围； （ii）求证：. 题型七：利用导数研究函数性质和图像问题 19．（2023下·陕