第09讲：一元函数的导数及其应用 （必刷7大考题+7大题型） -2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019）

第09讲：一元函数的导数及其应用 【考点梳理】 考点一：导数的概念和几何意义问题 考点二：导数的运算法则和复合函数求导 考点三：由函数的单调性求参数范围 考点四：函数和导函数的图像关系 考点五：函数的极值（点）问题 考点六：函数的最值问题 考点七：函数的单调性、极值和最值问题 【知识梳理】 知识点一．导数与导函数 (1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝ ＝ . (2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′. 知识点二．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 知识点三：基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 知识点四：导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[]′＝(g(x)≠0)． 知识点五:复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 知识点六：导数的应用 1．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根； ③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【题型归纳】 题型一：导数的概念和几何意义问题 1．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（    ） A．1 B． C． D． 3．（2023下·山东东营·高二统考期末）已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：导数的运算法则和复合函数求导 4．（2023下·上海普陀·高二校考期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·贵州遵义·高二统考期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·北京顺义·高二统考期末）下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．其中运算结果正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：由函数的单调性求参数范围 7．（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（    ） A．