第一讲 简单不等式讲义-2024届高三数学一轮复习

第二单元 不等式 第01讲 一元二次不等式（方程，函数） 一、二次函数 1.（1）形式：形如的函数叫做二次函数. （2）特点： ①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根. ②当且（）时，恒有（）；当且（）时，恒有（）. 2、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式. 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 3、一元二次不等式的解法：先将二次项系数化为正数，解出对应方程的两根，根据不等号方向写出解集（大于取两边，小于取中间）注意：二次项系数为字母或两根表达式含字母时要类讨论开口方向及根的大小。 4、二次方程、二次不等式、二次函数间的联系：二次方程ax2+bx+c=0的两个根即为二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c的图象与轴的交点的横坐标. 5、不等式恰成立问题的处理方法 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；则等价于f(x)=0的方程的根为区间D的两端点值。 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为. 6、不等式的恒成立问题： 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 7、求一元二次不等式恒成立问题中参数范围的常见方法： 利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x)＞0恒成立a＞0且Δ＜0； f(x)≥0恒成立a＞0且Δ≤0； f(x)＜0恒成立a＜0且Δ＜0； f(x)≤0恒成立a＜0且Δ≤0． （注：当未说明不等式是否为一元二次不等式时，先讨论a＝0的情况．） 二、分式不等式解法 （1） （2） （3） （4） 三、单绝对值不等式 （1）或 （2） （3）形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 四．高次不等式的解法——穿针引线法 先因式分解，再使用穿针引线法． 注意：因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正．  步骤： ①在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根，标为实点，等号不成立的根要标虚点． ②自右向左自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿)．  ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立，下方曲线对应区域使“<”成立． 1．命题“，”为真命题的充分不必要条件可以是（    ） A．a>4 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据命题“，”为真命题，求得a得范围，根据充分不必要条件定义，结合选项即可得解． 【详解】由，则， 要使在上恒成立， 则，所以， 根据题意可得所求对应得集合是的真子集， 根据选项AD符合题意． 故选：AD． 2．不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】[0,1)##0≤k＜1 【分析】分k＝0和k≠0两种情况进行讨论.k≠0时，可看为函数恒成立，结合二次函数的图像性质即可求解. 【详解】①当时，不等式可化为1＞0，此时不等式的解集为，符合题意； ②当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得； 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 3．已知关于的不等式的解集是或，则的值是 . 【答案】0 【分析】由一元二次方程、一元二次函数及一元二次不等式之间的关系和一元二次方程根与系数的关系进行求解. 【详解】由题意，得：， 且，2是方程的两根， 则，， 解得，，则. 故答案为：0. 4．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】把不等式的解集化为一元二次方程的两个根，利用韦达定理求得，且，然后化简，解一元二次不等式，得到答案. 【详解】不等式的解集为 所以-2和4是方程的两个根，由韦达定理得：， 所以，，且 为，同除以得： 解得： 故答案为： 5．解不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次不等式的求解方法直接求解即可； （2）化为即可求解. 【详解】（1）可得，∴ ∴该不等式解集为； （2）原不等式，∴， ∴该不等式解集为； 高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） 例题1．（2022·陕西西安·高二期末（文）） 6．求下列不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集. （2）根据分式不等式的解法求得不等式的解集. 【详解】（1）不等式等价于