专题10 三角函数的图象和性质-【备考期中期末】2023-2024学年高一数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019必修第一册）

专题10 三角函数的图象和性质 一、正弦曲线、余弦曲线 1.定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2.图象：如图所示． 3.正弦曲线和余弦曲线的关系 二、“五点法”作函数的图象 ①列表：列出x,y的五组对应值表 ②描点：在平面直角坐标系中描出五点 ③用光滑的曲线顺次连接这五个点 三、三角函数的图象与性质 正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质 性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当时，． 当时，；当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 奇偶性 ,奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形. 【特别提醒】 (1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tan x无单调递减区间，y＝tan x在整个定义域内不单调． (2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆． 四、三角函数图象与性质的常用结论 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 五、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 1.匀速圆周运动的数学模型 如图，点P从P0(t＝0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H＝rsin(ωt＋φ)＋h. 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： 提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为. 六、三角函数的图象变换 1.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象 【特别提醒】 (1)两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是 (ω＞0)个单位长度． (2)变换的注意点 无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化． 2.常用结论 （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． （2）由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 七、三角函数的应用 (1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述． (2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关： y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f ＝＝ ωx＋φ φ 题型01： 三角函数的图象 【典例1】（2022上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）画下列函数在一个周期上的图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02： 利用单位圆、图象解三角不等式 【典例3】（2023·高一课时练习）在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2022下·高一单元测试）求下列不等式的解集（要求画出图形）： (1)； (2)； (3)； (4). 【规律总结】 1.用三角函数的图象解sinx>a(或cosx>a)的方法 (1)作出直线y＝a，作出y＝sinx(或y＝cosx)的图象． (2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值． (3)确定si