5.5.2简单的三角恒等变化 课件——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.2 简单的三角恒等变换 1.两角和、差的余弦公式 2.两角和、差角的正弦公式 3.两角和、差的正切公式 复习回顾 一、和角与差角公式： sin2a = 2sina cosa. cos2a = cos2a-sin2a tan2a （S2a） （C2a） （T2a） 2倍角的正弦. 2倍角的余弦. 2倍角的正切. 二、倍角公式： 降幂公式： 升幂公式： 三、辅助角公式： asin x＋bcos x 其中, ， 例1.试以 表示 . 已知角与待求角有什么关系？ 解： 半角公式带根号， 是正是负看半角. 例1结论 特点: （1）用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数； （2）由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”（即用此式可达到“降次”的目的）. 所以得证． 证法一：因为 P226页练习1：求证： 又 即 所以 得证． 证法二：因为 →不需要讨论正负号的半角正切公式. P226页练习2： 例2.求证 证明： (1) sin(+) ＝ sin cos +cos sin  sin(- ) ＝ sin cos -cos sin  两式相加，得sin(+) + sin(-) ＝ 2sin cos  积化和差 和差化积 证明： 9 根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整： (1)sin(α＋β)＋sin(α－β)＝ ； (2)sin(α＋β)－sin(α－β)＝ ； (3)cos(α＋β)＋cos(α－β)＝ ； (4)cos(α＋β)－cos(α－β)＝ . 2sin αcos β 2cos αsin β 2cos αcos β －2sin αsin β 由上述(1)～(4)这四个等式不难得出下列四个对应的积化和差公式: 积化和差公式 在上述⑴～⑷这四个等式中， 由此可以得到四个相应的和差化积公式： 和 差 化 积 公 式 正加正，正在前 余加余，余并肩 余减余，负正弦 正减正，余在前 P226页练习3： 法一： 法二： 因此，所求周期为2Π，最大值为2，最小值为-2． 一般地，可以把y＝asinx＋bcosx转化为y＝Asin(x＋φ)的形式吗？ 设asinx＋bcosx＝ A(sinxcosφ＋cosxsinφ) ， 则a=Acosφ ， b＝Asinφ ， 于是a2+ b2＝A2 . 辅助角公式 我们称上面公式为辅助角公式，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ， b)决定. 例2.如图，已知扇形OPQ半径为1，圆心角为，C是扇形 弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=，问当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。 解： 练习：如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取才能使△OAB的周长最大？ 巩固练习 三角变换问题 观察角度之间的关系 观察函数之间的关系 同名三角函数 不同名三角函数 切化弦 观察运算结构的关系 恰当选择公式求解或证明 和、差关系 倍、半关系 互余或互补关系 特殊角 课堂小结 将①②两个等式的左右两边分别相除，得 已知 试求 和 的值. 已知等腰三角形的顶角的余弦等于 ，求这个三角形的一个底角的正切． 解：设等腰三角形的顶角为 ，则 ，底角为 ， 例１：求下列函数的周期，最大值和最小值： (1) ；(2) . 设 ，则 因此，所求周期为 ，最大值为 ，最小值为 ． (2) . 解：法一： 于是 ， 所以 ， 于是 ， 所以 .取 ，则 . 因此，所求周期为 ，最大值为 ，最小值为 ． 解：法二： ，则 ， 课本P228页1.求下列函数的周期，最大值和最小值： (1) ；(2) . 解：(1) . 设 ，则 . 因此，所求周期为 ，最大值为 ，最小值为 ． 解:设∠AOB＝α，△OAB的周长为l， 则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα， ∴l＝OA＋AB＋OB ＝R＋Rsinα＋Rcosα ＝R(sinα＋cosα)＋R ＝eq \r(2)Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＋R. ∵0<α<eq \f(π,2)，∴eq \f(π,4)<α＋eq \f(π,4)<eq \f(3π,4)， ∴l的最大值为eq \r(2)R＋R＝(eq \r(2)＋1)R， 此时，α＋eq \f(π,4)＝eq \f(π