2.4二次函数的应用第1课时（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 九年级下册 第1课时 第二章 二次函数 4 二次函数的应用 学习目标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点） 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点） 复习回顾 用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；（已知抛物线上三点坐标或三对x、y的值，用一般式） (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；（已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．（已知抛物线与x轴交点的横坐标x1，x2，用交点式） 一、创设情境，引入新知 问题：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.如何画才能让矩形的面积最大呢？ 下面我们一起探讨如何利用二次函数解决这个问题. 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少? 二、自主合作，探究新知 探究一：应用二次函数解决几何图形面积的最值问题 （2）用x表示出面积y，借助二次函数即可求出y的最大值. 分析：（1）由图形易得△CBE△FAE，进而得到对应边成比例，进而可用x表示AD的长度. x 二、自主合作，探究新知 解：（1）∵ BC∥AD， ∴ ∠CBE＝∠FAE＝90°. 又∵ ∠E＝∠E， ∴ △CBE∽△FAE． ∴ ＝． 又∵ EA＝40，AB＝x，EB＝40-x， ∴＝． ∴ BC＝． ∴ AD＝BC＝． x 二、自主合作，探究新知 （2）y= = ∴当x为20m时，y有值最大，最大值是300m2. x 议一议：在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 二、自主合作，探究新知 分析：可以利用相似三角形对应高的比等于相似比解决. x F G E N M 解：过E作EN⊥GF交AD与M，则GF=50,EN=24, MN=AB=x. ∵ AD∥BC， ∴ ∠EAD＝∠EFG. 又∵ ∠DEA＝∠GEF=90°， ∴ △EAD∽△EFG． ∴ ＝,即∴＝． ∴ AD＝． 二、自主合作，探究新知 x F G E N M （2）y= = ∴当x为12m时，y有值最大，最大值仍然是300m2. 知识要点 二、自主合作，探究新知 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 2.求出函数解析式和自变量的取值范围； 3.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 4.检验结果的合理性：检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 二、自主合作，探究新知 典型例题 例1：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 解：∵7x+4y+πx=15, ∴0＜x＜1.48. 二、自主合作，探究新知 设窗户的面积是S m2, 则 ∴当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02 m2. 做一做：要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下穿过入场，现知拱形底座顶部离水面2 m,水面宽4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降1 m,问此时水面宽度增加多少? 二、自主合作，探究新知 探究二：应用二次函数解决拱桥问题 x y O -3 (-2,-2) ● ● (2,-2) 4米 二、自主合作，探究新知 解：建立如图所示坐标系,设二次函数解析式为y=ax2. ∵抛物线经过点（2，-2）， ∴-2=4a，解得 ∴这条抛物线的解析式为y=x2. -3 x y O (-2,-2) ● ● (2,-2) 当水面下降1m时，水面的纵坐标为y=-3. 当y=-3时，. ∴水面下降1m，水面的宽度为m. ∴水面的宽度增加了()m. 二、自主合作，探究新知 解决拱桥问题的一般步骤 (1)根据题意建立适当的直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识要点 例2：如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴