精品解析：江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学树人学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

数学 注意事项：本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. 0 B. 3 C. 0和3 D. 0和 2. 下列四条线段中，能成为成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 二次函数的图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线分别交，，于点A，，，直线分别交，，于点，，，与相交于点，则下列式子不正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，二次函数与正比例函数的图象相交于点，，点的横坐标为，点B的横坐标为5．下列结论：①；②；③关于的方程的两根为，；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ②③ B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 已知＝，则＝_____． 8. 若，相似比为，则与的面积的比为______． 9. 已知的半径为，则的圆周角所对的弦长为______． 10. 如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为___． 11. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且，，则AC长是______． 12. 已知点，在抛物线上，且，则_________．（填“<”或“>”或“=”） 13. 根据下表信息，估计一元二次方程（）的一个解是______．（精确到） … … … … 14. 如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 15. 如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为______． 16. 已知二次函数和（是常数）的图象与轴都有两个交点，且这几个交点中相邻两点之间的距离都相等，则的值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 根据下列条件，分别求出相应的二次函数表达式． （1）二次函数图象的顶点为，图象经过； （2）二次函数图象经过、、． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若是方程的一个根，用两种不同方法求的值． 20. 如图，在中，是上（异于点，）一点，恰好经过点，，于点，且平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 21. 某网店销售某款童装，每件售价元，每星期可卖件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖件．已知该款童装每件成本价元． （1）该网店每星期要想获得元的利润，同时让顾客得到实惠，每件童装降价多少钱？ （2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 22. 某喷水头喷出的水柱呈抛物线形状，测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，设当水柱距喷水头的水平距离为时，水柱距地面的高度为． （1）求与之间的函数表达式； （2）求水柱的最大喷射距离． 23. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； （2）已知该函数图象在轴上截出的线段长为8，且原点位于该图象的上方，求的值． 24. 如图，在中，是边上的动点，连接，作，，得． （1）求证； （2）若在边上运动，用尺规作出点的运动轨迹，并简要说明理由． 25. 证明“眼球定理”． 如图，，的半径分别为，且，的切线，交于点，；的切线，交于点，．连接，，则总有． （1）以下结论中所有正确结论的序号是______． ①； ②连接，； ③垂直平分和； ④的长只与，有关，与无关． （2）在（1）中正确结论的基础上，证明． 26. 已知二次函数（为常数）． （1）若该函数图像经过点，则 ①的值为______； ②当时，的取值范围为______． （2）当时（其中，为实数，），的取值范围为．直接写出，的值或取值范围． （3）当时，的最小值为，求的值． 27. 形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1． 一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为