专题12 椭圆的定义及其应用+焦点三角形（期末选择题12）-2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题12 椭圆的定义及其应用+焦点三角形（期末选择题12） （原卷版） 题型 椭圆定义及其应用+焦点三角形 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 应用1：探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆． 应用2：应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a实现等量转换． 应用3：焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题. 焦点三角形 Ⅰ假焦点三角形周长公式:过椭圆的左焦点的弦与右焦点围成的三角形的周长是； Ⅱ焦长公式：是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，是椭圆半焦距，则①；②；③． Ⅲ假焦点三角形面积公式： ，． 证明：Ⅰ：如图所示，，故；y O F2 A B x F1 Ⅱ设由余弦定理可得 ；得 ；得 则过焦点的弦长.（焦长公式） Ⅳ焦比定理：过椭圆的左焦点F1的弦，，令，即，代入弦长公式可得． 形如1：方程的化简结果是（　　） A． B． C． D． 破解：方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且， 所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以， ， 根据 ，所以椭圆方程为. 故选：C. 形如2：已知点P为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ） A． B． C．1 D．3 破解：因为点P为椭圆上的一点，所以，因为，所以.故选：C. 形如3：椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长是（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 破解：由题意得， 由椭圆定义可知，， 所以的周长为. 故选：D 形如4：已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（    ） A．2 B．3 C． D． 破解：设椭圆的焦距为，则， 的周长为，解得， 故选：D 形如5：已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 破解：由椭圆的定义可得， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时取得等号， 故选:C. 形如6：已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ） A．12 B． C．16 D．10 破解：设椭圆的另外一个焦点为，如图，    则的周长为， 故选：C. 形如7：已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 破解：因为点P是椭圆上的动点，，，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故选：A. 形如8：已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 破解：   设椭圆的半焦距为，则，， 如图，连接，则， 而，当且仅当共线且在中间时等号成立， 故的最大值为. 故选：A. 1．已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上第一象限的点，直线与轴相交于点，若（为坐标原点），则（   ） A． B． C． D． 2．已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（    ） A．2 B． C． D． 3．是椭圆上的一点，、分别是椭圆的左右焦点，已知，三角形的面积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．过椭圆的左焦点的直线与的一个交点为，与圆相切于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（    ） A．双曲线的渐近线为 B．的离心率为 C．的方程为 D．的面积为 6．已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第二象限内的一点，且（为坐标原点），则（    ） A．2 B． C． D． 8．已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为（    ）. A． B． C． D． 9．已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 10．已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 11．已知为椭圆的右焦点，点，点P为椭圆上任意一点，且的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 12．已知为任意角，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 14．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于