5.3.1函数的单调性学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学学科 班级： 姓名： 课题：5.3.1函数的单调性 【学习目标】 1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养。 2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。 .3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间． 【重点、难点】 重点： 理解函数的单调性与导数的正负之间的关系 难点： 运用导数判断函数的单调性 【学习过程】 在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质。在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题。 问题1: 图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间变化的函数 h(t)=-4.9t2+4.8t+11 图像. 图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)= -9.8t+4.8的图象，是函数h(t)的零点。 运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 问题2:我们看到，函数h(t)的单调性与的正负有内在联系，那么，我们能否由的正负来判断函数h(t)的单调性呢？ 探究:观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。 结论：定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 思考　如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？ 1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　　) 2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　) 3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　　) 4．函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(　　) 例1求下列函数的单调区间. (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2·； (3)f(x)＝x＋ . 总结：利用导数判断函数的单调性的一般步骤是什么？ 练习1．（1）函数f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数　　 　　B．减函数 C．先增后减 D．不确定 （2）求f (x)＝3x2－2ln x函数的单调区间： 例2. 已知导函数 的下列信息，试画出函数 的图象的大致形状. 当1 < x < 4 时, >0; 当 x > 4 , 或 x < 1时, 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, 0. 练习2　(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) （2）导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　) A　　　 　B　　　　 C　　 　　 D (2)函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为__________________． 【反思小结】 ( - 1 - )业精于勤，荒于嬉； 行成于思，毁于随。 学科网（北京）股份有限公司 $$