专题13 垂径定理之六大考点-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

专题13 垂径定理之六大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用垂径定理求值】 1 【考点二 利用垂径定理求平行弦问题】 4 【考点三 利用垂径定理求同心圆问题】 7 【考点四 利用垂径定理求解其他问题】 10 【考点五 垂径定理的推论】 13 【考点六 垂径定理的实际应用】 16 【过关检测】 18 【典型例题】 【考点一 利用垂径定理求值】 例题：（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，为的直径，为的弦，，垂足为，，， ． 【变式训练】 1．（2023上·江苏无锡·九年级校考期末）如图，是的直径，弦，垂足为点E，，则 ． 2．（2023上·江苏苏州·九年级苏州工业园区星湾学校校考期中）将半径为5的如图折叠，折痕长为6，C为折叠后的中点，则长为 ． 【考点二 利用垂径定理求平行弦问题】 例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 【考点三 利用垂径定理求同心圆问题】 例题：如图，已知的两条弦、分别与的同心圆交于点E、F、X、Y，，，，则的长度为 ．    【变式训练】 1． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 2．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【考点四 利用垂径定理求解其他问题】 例题：如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图是一破损了的圆形零件的设计图，请你根据所学的有关知识将设计图恢复完整．    2．已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．    (1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图②，若，画出的平分线． 【考点五 垂径定理的推论】 例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为 米． 【变式训练】 1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起 厘米． 2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是 寸． 【考点六 垂径定理的实际应用】 例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（　　） ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 ②平分弦的直径平分弦所对的弧 ③垂直于弦的直线必过圆心 ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧 A．②③ B．①③ C．②④ D．①④ 2．已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度为，过O作于点D，．    (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？ 【过关检测】 一、单选题 1．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，是的弦，半径，垂足为D，设的半径为5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2023上·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习）如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）已知，为中的两条弦，．若，，的直径为，则与之间距离为（   ） A． B． C．或 D． 4．（2013·重庆·统考二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与