专题11 模型构建专题：解直角三角形应用中的六大基本模型-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）

专题11 模型构建专题：解直角三角形应用中的六大基本模型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1 【类型二 不含特殊角的非直角三角形】 7 【类型三 “独立”型】 13 【类型四 “背靠背”型】 17 【类型五 “叠合”型】 23 【类型六 “斜截”型】 26 【典型例题】 【类型一 含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 例题：（2023上·安徽亳州·九年级统考期末）如图：一船以的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，行驶了1h后到达B处，测得距离灯塔C在北偏东30°的方向上． (1)此时灯塔C距离B处多少？ (2)已知灯塔C四周内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？ 【变式训练】 1．（2023上·湖南郴州·九年级统考阶段练习）一天，小红，小丽相约去爬山，她俩爬山之前想估测一下小山的高度．如图所示，山顶上有一标志A，在山脚平地上的B处测得标志A的仰角为，向小山前进180米到达点D处，测得标志A的仰角为，若点B、D在同一水平线上，设于点C，求小山的高度．（结果保留根号） 2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高为米，远处有一栋大楼，某人在楼底处测得塔顶的仰角为，在楼顶处测得塔顶的仰角为30°． (1)求大楼与电视塔之间的距离； (2)求大楼的高度（结果保留根号）． 3．（2023上·山东枣庄·九年级滕州育才中学校考阶段练习）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸人树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点住同一水平线上）． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 4．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点、均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点的南偏东方向且米，点在点的东北方向．(参考数据：，，) (1)求道路的长度(精确到个位)； (2)若甲从点出发沿的路径去点，与此同时乙从点出发，沿的路径去点，其速度为米分钟．若两人同时到达点，请比较谁的速度更快？快多少？(精确到十分位) 【类型二 不含特殊角的非直角三角形】 例题：（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为 ． 【变式训练】 1．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）正方形网格中，如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在上），则的值为 ．    2．（2023上·河南新乡·九年级统考期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A、B、C都在格点上，则的正切值为 ．    3．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则为 ．    4．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算 ． 5．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【类型三 “独立”型】 例题：（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为 米．（结果精确到米）【参考数据：，，】    【变式训练】 1．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为 米；      2．如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手离地面高度为，风筝飞到处时的线长为，这时测得，求此时风筝离地面的高度．（精确到，）      3．（2023上·湖南株洲·九年级校考阶段练习）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内． (1)求D到的距离． (2)求古塔的高度（结果保留根）． 【类型四 “背靠背”型】 例题：（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）科技改变生活，