专题09 难点探究专题：相似三角形中动点问题六大考点-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）

专题09 难点探究专题：相似三角形中动点问题六大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 1 【考点二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 7 【考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 13 【考点四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 18 【考点五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 22 【考点六 相似三角形中的动点探究应用问题】 30 【典型例题】 【类型一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为 ． 【变式训练】 1．（2023上·四川巴中·九年级校考阶段练习）如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点运动的速度为秒，点运动的速度为秒，如果两点同时开始运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ）    A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 2．（2023上·江西抚州·九年级统考期中）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为 秒． 3．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）如图，Rt△ABC的两条直角边，，点沿从向运动，速度是秒，同时，点沿从向运动，速度为秒．动点到达点时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 4．（2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，速度是，动点在线段上运动．它们同时出发，当有一点到达终点，另一点也停止运动．设运动时间为． (1)若点从点出发，沿向点方向运动，速度为． ①在运动过程中，始终平行于，则__________； ②在①的条件下，当时，，两点之间的距离是多少？ (2)若点从点出发，沿向点方向运动，速度是．当为多少秒时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 【类型二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：（2023·河南洛阳·统考一模）矩形中，，，点E是的动点，若，则的长为 ． 【变式训练】 1．（2023上·安徽亳州·九年级统考期末）在边长为4的等边中，D、E、F分别是、、上的动点，且满足，，连接、、，当 时，和相似． 2．（2023上·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，，，，，，点P为线段上一动点，连接，，当时，的长为 ． 3．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知中，点E在斜边上，F是边上一动点，沿所在直线折叠，点A的对应点为点，，交于点N，M．当与相似时．的长是 ． 4．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在中，，点为边上一动点（不与点重合），过点作射线交于点，使．当为直角三角形时，则的长为 ．    【类型三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 例题：（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，中，，，，D是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ． 【变式训练】 1．（2023上·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图1，在矩形中，，点E为射线上的一个动点，过点E作，连接，使，连接． (1)求证：①； ②； (2)如图2，若，，连接． ①若，求； ②当E点在射线上运动时，则的最小值为______． 【类型四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形一边在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，，E为边上一动点，过点P，E的直线与正方形的边交于点F，连接，若设，的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　） A．B．C．D． 【变式训练】 1．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（    ）    A．    B．  C．   D．   2．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为