专题08 模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）

专题08 模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型 【考点导航】 目录 【类型一 （双）A字型相似基本模型】 1 【类型二 （双）8字型相似基本模型】 7 【类型三 母子型相似基本模型】 17 【类型四 手拉手型相似基本模型】 23 【类型五 K字型相似基本模型】 31 【类型六 三角形内接矩形基本模型】 37 【典型例题】 【类型一 （双）A字型相似基本模型】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 例题：如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【变式训练】 1．（2023上·湖南郴州·九年级统考阶段练习）如图，中，，，则 ． 2．（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）已知，E为延长线上一点，与交于点G，与交于F点，若，求的长． 3．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考期中）如图，D，E分别是上的点，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 4．（2023上·贵州铜仁·九年级校考期中）如图，在中，点D、E、F分别在，，边上，，． (1)求证：； (2)设，若，求线段的长． 5．（2023上·安徽合肥·九年级阶段练习）如图．在中，，中线与高线相交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作 上于点 ，求的值． 【类型二 （双）8字型相似基本模型】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 例题：（2023上·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）如图，在中，E是延长线上一点，与交于点F。 (1)求证：． (2)设和的面积分别为，若，求的值． 【变式训练】 1．（2023上·江苏·九年级校考周测）如图，是的中线，点在边上，交于点，若，，则的长度为 ． 2.（2023上·河北廊坊·九年级校联考阶段练习）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 3．（2023上·福建泉州·九年级福建省永春第一中学校考阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，，求的长． 4．（2023上·广东深圳·九年级深圳市桂园中学校考阶段练习）如图，在菱形中，P是它对角线上面的一个点，连接后并延长，交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如果，，求线段的长． 5．（2023上·全国·九年级专题练习）如图1，已知四边形是矩形，点在的延长线上，，与相交于点，与相交于点，．    (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【类型三 母子型相似基本模型】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 例题：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD． (1)求证：△ABC∽△BDC． (2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长． 【变式训练】 1．（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）如图所示，已知在中，，交于点，，，求的长． 2．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（2023上·江苏无锡·九年级校考期末）如图，在中，D是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2023上·浙江温州·九年级瑞安市安阳实验中学校联考期末）如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 5．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，中，是中线，且，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【类型四 手拉手型相似基本模型】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com] ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 例题：（2023上·山东济宁·九年级校考阶段练习）问题呈现：（1）如下图，和都是等边三角形，连接，，求证：； 类比探究：（2）如下图，和都是等腰直角三角形，，连接，，求的值； 拓展提升：（3）如下图，和都是直角三角形，，且，连接，，直接写出的值． 【变式训练