第1章 二次根式 章末整合提升-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． a b 答案:①D　②E　③A　④F　⑤G　⑥B　⑦C 考点一　二次根式有意义的条件 二次根式 a中的a 可以是数,也可 以是单项式、多项式、分式等,但必须注 意a≥０．只有a≥０,二次根式才有意义． 考查二次根式有意义的条件时,经 常结合分式、零指数幂的知识一起考查, 此时 除 了 保 证 被 开 方 数(式)是 非 负 的 外,还要保证其他代数式有意义． 　　　　 　　　　 　　　　 　 例１若代数式 １ x＋１－１ ＋(x－２)０ 在实 数范围内 有 意 义,则 x 的 取 值 范 围 是 ． 解析:要 使 二 次 根 式 １ x＋１－１ ＋(x－ ２)０ 在实数范围内有意义,则x 应满足 条件 x＋１≥０, x＋１－１≠０, x－２≠０, ì î í ï ïï ï ï 所以x≥－１,且x≠０,x≠２． 答案:x≥－１,且x≠０,x≠２ ８２ @. 在初中学段,除去问题的实际意 义和几何意义对字母的取值范围有限 制外,还有下面三种情况需考虑其有 意义的条件:(１)二次根式的被开方数 (式)大于或等于０;(２)分式的分母不 为０;(３)零指数幂和负指数幂中,底 数不能为０． 考点二　二次根式非负性的应用 二次根式具有双重非负性(即二次 根式本身是非负的,其被开方数(式)也 是非负的),这一性质经常作为隐含条件 出现在问题中． 例２ 已知a２＋ b－ ２ ＋ (c－１)２ ＝ ２３a－３,试求(a＋b)２－ ３c a－b 的值． 解:因 为 a２ ＋ b－ ２ ＋ (c－１)２ ＝ ２３a－３, 所以 a２ －２ ３a ＋３＋ b－ ２ ＋ (c－１)２ ＝０． 所以(a－３) ２ ＋b－２ ＋ (c－１)２＝０． 因 为 (a－ ３) ２ ≥ ０,b－ ２ ≥ ０, (c－１)２ ≥０, 所以a－ ３＝０,b－ ２＝０,c－１＝０, 所以a＝ ３,b＝ ２,c＝１． 当a＝ ３,b＝ ２,c＝１时, (a＋b)２ － ３c a－b ＝ (３＋ ２) ２ － ３ ３－ ２ ＝３＋２６＋２－ ３(３＋ ２) (３－ ２)(３＋ ２) ＝５＋２６－３－ ６ ＝２＋ ６．  　　本题只有一个等式,却含有三个 未知数,似乎无从下手．通过巧妙变形 把等式化为三个非负数的和等于零的 形式,使 问 题 转 化 为 解 简 单 的 方 程 (组)问题,这是一类常见的题目,要认 真领会这种解题方法． 考点三　二次根式的运算 有关二次根式的计算要重点把握: (１)按正确的运算顺序计算;(２)正确使 用运算法则,处理好各项符号;(３)正确 运用运算律和乘法公式;(４)运算结果要 化为最简． 例３计算: (１) ２ ３－ １ ６ ２４＋ ３ ２８ ; (２)(３－ ７)(３＋ ７)＋ ２(２－ ２); (３)(３ １８＋ １ ５ ５０－４ １ ２ ) ÷ ３２ ; (４) １ ６ ( １＋ ６ ２ ) ２ － ( １－ ６ ２ ) ２é ë ê ê ù û ú ú ; (５)(２＋ ３－ ６)(２－ ３＋ ６)． 解:(１)原式＝ ６ ３－ ６ ３＋３２＝３２． (２)原式＝３２－(７)２＋２２－(２)２ ＝９－７＋２２－２ ＝２２． ９２ (３)原式＝(９２＋ ２－２２)÷４２ ＝８２÷４２ ＝２． (４)原式＝ １ ６ ( １＋ ６ ２ ＋ １－ ６ ２ ) ( １＋ ６ ２ － １－ ６ ２ ) ＝ １ ６ ×１× ６ ＝１． (５)原式 ＝[２＋(３－ ６)][２－ (３－ ６)] ＝(２)２－(３－ ６)２ ＝２－(３)２＋２３× ６－(６)２ ＝２－３＋２ １８－６ ＝－７＋６２． " 二次根式的运算口诀 混 合 运 算 并 不 难,各 种 法 则 记 心间． 运算顺序要记牢,化为“同类”算 加减． 公式用好解难点,最后结果化最简． 考点四　二次根式的化简求值 解决与二次根式相关的化简求值问 题时,一般是先将所给代数式进行整理, 再将未知数的值代入化简后的代数式中 求值,有时也可整体代入． 例 ４ 已 知 a ＝ １ ５－２ ,b ＝ １ ５＋２ ,求 a２＋b２＋２的值． 解:因为a＝ １ ５－２ ＝ ５＋２ (５－２)(５＋２) ＝ ５＋２,b＝ １ ５＋２ ＝ ５－２ (５＋２)(５－２) ＝ ５－２, 所以 a２＋b２＋２ ＝ (a＋b)２－２ab＋２ ＝ (５＋２＋５－２)２－２(５＋２)(５－２)＋２ ＝ ２０－２＋２ ＝２５． " 先化简后代入,公式转化变简单 对于此类问题,直接代入求值往 往比较烦琐,应先化简已知条件,再代 入到利用乘法公式变形后的式子中 求解． ０３ 教材参考答案 AD=2. 16 所以△ABC的