4.6 反证法-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

４．６　反证法 知识点一　反证法 反证法的定义 在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从 这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或 者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命 题不成立是错误的,即所求证的命题正确．这种证明 方法叫做反证法． 反证法的基本步骤 　　解题模板 【例 １】已 知 ∠A,∠B,∠C 是 △ABC 的 三 个 内 角．求 证: △ABC 不能有两个钝角． 证明:假设 △ABC 中有两个钝 角,即∠A＞９０°,∠B＞９０°, 于是∠A＋∠B＋∠C＞１８０°． 这 与 “三 角 形 的 内 角 和 是 １８０°”相 矛 盾,所 以 假 设 不 成立． 所以△ABC 不能有两个钝角． 知识点二　平行线的传递性 图形 定理内容 符号表示 在同一平面内,如果两条直线都 和第三条直线平行,那么这两条 直线也互相平行 因为l１∥ l３,l２ ∥ l３,所 以 l１∥l２ 　 　 % 用反证法证明命题和举反 例证 明 命 题 是 不 同 的．举 反例时只要举出例子,不需 要推理论证;用反证法证明 时不仅要反设命题结论,还 要通过说理“推翻”这些“反 设”．举反例是判断命题的 方法,反证法是证明命题的 方法．  (１)在同一平面内,如果两 条线段都和第三条直线平 行,那么这两条线段所在的 直线也互相平行． (２)在同一平面内,如果一 条直线与两条平行线中的 一条相交,那么和另一条也 相交． １５１ 　 　 【例２】如图４．６Ｇ１,已知∠４＝∠５,直线a∥b,∠３＝１３０°, 求∠１的度数． 图４．６Ｇ１ 解:因为∠４＝∠５, 所以b∥c． 又因为a∥b,所以a∥c, 所以∠１＝∠２． 因为∠２＝∠３＝１３０°,所以∠１＝１３０°． 　 １．如 图 ４．６Ｇ２,在 △ABC 中,点 D,E 三等分AC． 用反证法证明:BD,BE 不能三等分∠ABC． 图４．６Ｇ２ 题型一　用反证法证明数学问题 【例１】求证:三角形的三个内角中,至少有两个角是锐角． 审题关键:用反证法证明时,首先假设命题不成立,找 出其反面的所有可能情况,然后从这个反面出发推 导下去,直到得出矛盾． 破题思路:这个命题的条件是“一个三角形的三个内 角”,结论是“至少有两个角是锐角”．对其反面所有 的情况逐一讨论并否定即可得出结论． 证明:假设△ABC 中最多有一个锐角,则△ABC 中有 一个锐角或没有锐角． (１)当△ABC 中只有一个锐角时,不妨设∠A＜９０°, 则∠B≥９０°,∠C≥９０°, 所以∠A＋∠B＋∠C＞１８０°,这与三角形内角和定 理矛盾,所以△ABC 中不可能只有一个锐角． (２)当△ABC 中没有锐角时,则∠A≥９０°,∠B≥ ９０°,∠C≥９０°, 所以∠A＋∠B＋∠C＞１８０°,这与三角形内角和定 理矛盾, ２５１ 所以△ABC 中不可能没有锐角． 所以三角形中至少有两个角是锐角． >4 　　用反证法证题时,由于假设命题的结论不成立, 就必须考虑结论的反面可能出现的所有情况,通过推 理,并一一否定后,才能肯定原结论是正确的． 题型二　反证法在实际问题中的应用 【例２】小清的班级有５０名同学,她对王老师说:“我们 班至少有５名同学在同一个月过生日．”王老师说:“你 说得对．”你知道这是为什么吗? 审题关键:解答此类问题时,要找出问题的反面,通过 推理得出矛盾． 破题思路:“至少有５名同学”的反面是“不超过４名 同学”,由此得出本班学生在同一个月过生日的最 高人数,再与实际人数比较得出结论． 解:假设不超过４名同学在同一个月过生日, 即全班同学不超过４×１２＝４８(名)． 这与全班有５０名同学相矛盾,故她说得对． 题型三　平行线的传递性的应用 【例３】如图４．６Ｇ３,已知∠ABC＋∠CDE－∠BCD＝１８０°． 求证:AB∥DE． 图４．６Ｇ３ 审题关键:已知中给出了三个角之间的数量关系,但 这三个角不是直线AB,DE 被第三条直线所截形 成的角,直接运用所给出的条件比较困难,需要寻 找“桥梁”． 破题思路:过点C 作CF∥AB,若能证明 DE∥CF, 即可说明AB∥DE． 证明:如图４．６Ｇ４,过点C 作CF∥AB． 　 ２．地理老师在黑板上挂了 一幅含地球五个洲的地 图,并给每个洲都写上了 号码,他请５名同学每人 认出２个洲,５名同学的 回答是: 甲:３号是欧洲,２号是北 美洲; 乙:４号是亚洲,２号是大 洋洲; 丙:１ 号 是 亚 洲,５ 号 是 非洲; 丁:４号是非洲,３号是大 洋洲; 戊:２号是欧洲,５号是北 美洲． 地理老师说:“你们每个 人都认对了一半．”请问: 每个号码各代表什么洲? ３５１ 　 ３．(四川南充中考改编)如 图４．６Ｇ５,直线a∥b,将一 个直角三角板按如图所 示的位