4.2 平行四边形及其性质-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

４．２　平行四边形及其性质 　 　 % 平行四边形的概念包含两 层含义: (１)是四边形; (２)两组对边分别平行． 若四边形的一组对边平行, 则该四边形不一定是平行 四边形． 知识点一　平行四边形及其表示方法 示意图 图４．２Ｇ１ 符号表示 平行四边形用符号 “▱”表示,如图 ４．２Ｇ１,平 行 四 边 形 ABCD 可 记 做 “▱ABCD”． 【例１】如图４．２Ｇ２,已知四边形 ABCD,E,F 分别为边 AD,BC 上的点,且四边形AECF 和四边形DEBF 都 是平行四边形,AF 和BE 相交于点G,DF 和CE 相交 于点H．求证:四边形EGFH 为平行四边形． 图４．２Ｇ２ 证明:因 为 四 边 形 AECF 为 平 行 四 边形, 所以AF∥CE． 因为四边形DEBF 为平行四边形, 所以BE∥DF． 所以四边形EGFH 为平行四边形． 巧用概念的双重作用解题 图形的概念往往具有双重作用:一是可以作为这 个图形的判定方法;二是可以作为这个图形的某种性 质．利用平行四边形的概念,只要说明一个四边形的两 组对边分别平行,即可说明这个四边形是平行四边形． 同样,若已知一个四边形是平行四边形,则其一定具 有两组对边分别平行的性质． ０１１ 知识点二　平行四边形角和边的性质 图形 性质内容 符号表示 A D B C ▱ABCD 角的 性质 平行四边形的 对角相等 因为四边 形 ABCD 是平 行 四 边 形,所 以 ∠A ＝ ∠C,∠B＝∠D 边的 性质 平行四边形的 对边相等 因为四边 形 ABCD 是平 行四边形,所以AB＝DC, AD＝BC D C A B 图４．２Ｇ３ 【例 ２】如 图 ４．２Ｇ３,在 ▱ABCD 中, ∠A∶∠B＝２∶７,求▱ABCD 各个 内角的度数． 解:因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AD∥BC,所以∠A＋∠B＝１８０°． 因为∠A∶∠B＝２∶７,可设 ∠A,∠B 分别为 ２x 和７x, 所以２x＋７x＝１８０°,解得x＝２０°． 所以∠A＝∠C＝４０°,∠B＝∠D＝１４０°． 构造方程求角度 在平行四边形中,已知任意一个内角的度数可知 其余三个内角的度数．当已知两个相邻内角之间的大 小、倍数或比例关系时,可根据相应关系设出这两个 角的度数,然后借助平行四边形的对角相等或邻角互 补的性质建立方程求解． A F D B E C 图４．２Ｇ４ 【例３】如图４．２Ｇ４,在▱ABCD 中,E,F 分别 是BC,AD 上 的 点,且 BE ＝ DF．求证:AE＝CF． 证明:因为四边形 ABCD 是平行四边 形,所以AB＝CD,∠B＝∠D(平行四边形的对边相 等,对角相等)． 又因为BE＝DF,所以△ABE≌△CDF, 所以AE＝CF． 　 % (１)平行四边形的对边有两 种关系:一是位置关系——— 平 行;二 是 数 量 关 系——— 相等． (２)平行四边形的两邻边长 度之和等于平行四边形周 长的一半．  由例２可以得到结论:平行 四边 形 的 邻 角 互 补．如 图 ４．２Ｇ３,在▱ABCD 中,∠A＋ ∠D ＝１８０°,∠A ＋ ∠B ＝ １８０°,∠B ＋ ∠C ＝ １８０°, ∠C＋∠D＝１８０°． １１１ 　 　 'F 在实际生活中,四边形的不 稳定性有时会带来负面影 响,这就需要我们去克 服． 如椅子使用一段时间后可 能会变形,这时就需要斜钉 一根木条,利用三角形的稳 定性使其稳固． % 几个“距离”要分清 (１)连结两点的线段的长度 叫做两点间的距离． (２)从直线外一点到这条直 线的垂线段的长度,叫做点 到直线的距离． (３)夹在两条平行线间的垂 线段的长度叫做两条平行 线之间的距离． 知识点三　四边形的不稳定性 与三角形的稳定性相反,四边形具有不稳定性的特点,因 此平行四边形也具有不稳定性．平行四边形的不稳定性 有着广泛的应用,如衣帽架、伸缩门、可伸缩的遮阳篷等． A H B E G D CF 图４．２Ｇ５ 【例４】如图４．２Ｇ５,工人师傅做了一个长方 形窗框ABCD,E,F,G,H 分别是四条边 上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上 钉一根木条,这根木条不应钉在 (　　) A．A,C 两点之间 B．E,G 两点之间 C．B,F 两点之间 D．G,H 两点之间 解析:木条钉在E,G 两点之间时没有构成三角形,所以 不具有稳定性． 答案:B 知识点四　平行线的性质定理及其推论 夹在平行线间的平行线段、垂线段的性质 文字语言 符号语言 夹在两条平行线间的平行 线段相等 直线l１∥l２, AB∥CD, 则AB＝CD 夹在两条平行线间的垂线 段相等 直线l１∥l２,EF⊥ l２,GH⊥ l