4.1 多边形-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

第４章　平行四边形 ４．１　多边形 　 　 % 多边形可用它的顶点字母 来表 示,可 顺 时 针 方 向 表 示,也可逆时针方向表 示． 图４．１Ｇ１中的六边形可表示 为六边形ABCDEF,也可表 示为六边形FEDCBA． 图４．１Ｇ１  从n 边 形 的 一 个 顶 点 出 发,可以 画(n－３)条 对 角 线,从n 个顶点,共可以画 n(n－３)条对角线,但每条 对角线都计算了两次,所以 n 边形共有 １ ２n (n－３)条对 角线． 知识点一　多边形及其相关概念 多边形与n边形 (１)多边形:在同一平面内,由任意两条都不在同一条 直线上的若干条线段(线段的条数不少于３)首尾顺次 相接形成的图形叫做多边形． (２)边:组成多边形的各条线段叫做多边形的边． (３)n 边形:边数为n 的多边形叫n 边形(n 为正整数, 且n≥３)． 多边形的相关概念 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 注意:本书所说的多边形都指凸多边形,即多边形 的各条边都在任意一条边所在直线的同一侧． 【例１】n 边形有　　　　个顶点,　　　　个内角,从一 个顶点出发可以画　　　　条对角线． 答案:n　n　n－３ 知识点二　四边形的内角和 四边形的内角和定理:四边形的内角和等于３６０°． ２０１ 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 注意:研究四边形的内角和时,除了用剪拼的方法 外,还可通过添加辅助线(如图４．１Ｇ２所示),将四边 形问题转化为三角形问题,通过三角形的内角和求 出四边形的内角和． 图４．１Ｇ２ 【例２】(１)已知四边形各内角的度数之比为１∶２∶３∶ ４,则各内角的度数分别为　　　　; (２)在四边形ABCD 中,∠A 与∠C 互补,∠B＝８５°,则 ∠D＝　　　　． 解析:(１)设四个内角分别为x,２x,３x,４x, 则x＋２x＋３x＋４x＝３６０°,解得x＝３６°, 所以２x＝７２°,３x＝１０８°,４x＝１４４°． (２)因为∠A＋∠C＝１８０°,∠B＝８５°, 所以 ∠D ＝３６０°－ ∠A－ ∠C－ ∠B＝３６０°－１８０°－ ８５°＝９５°． 答案:(１)３６°,７２°,１０８°,１４４°　(２)９５° 知识点三　多边形的内角和与外角和 多边形的内角和 多边形的外角和 探究 过程 对于n边形,从某一个顶点出 发的(n－３)条对角线把n 边 形划分成(n－２)个三角形,所 以n边形的内角和就等于这 (n－２)个三角形的所有内角 之和 因为每一个外角与它相 邻的内角互补,所以n边 形的外角和(每一个顶点 只取一个外 角)为n× １８０°－(n－２)×１８０°＝ ３６０° 结论 n边形的内角和为(n－２)× １８０°(n≥３) 任何 多 边 形 的 外 角 和 为３６０° 【例３】(１)九边形的内角和为　 　　,外角和为　　 　; (２)如果一个多边形的内角和是７２０°,那么这个多边 形的边数是　　　　． % (１)“四边形的内角和等于 ３６０°”经 常 作 为 隐 含 条 件, 解题时要注意挖掘． (２)当四边形的四个内角之 间的大小关系以比的形式 给出 时,往 往 通 过 设 未 知 数,借助方程思想求解． % 多边形的内角和的证明方 法与四边形的内角和的证 明方法类似,也是将多边形 问题转化为三角形问题求 解．如图４．１Ｇ３所示,下面是 几种证明思路． 图４．１Ｇ３ ３０１ 解析:(１)九边形的内角和为(９－２)×１８０°＝１２６０°,外角 和为３６０°． (２)设这个多边形的边数为n(n≥３),则(n－２)×１８０°＝ ７２０°,解得n＝６． 答案:(１)１２６０°　３６０°　 (２)６ (１)多边形的内角和与边数有关,由边数即可确定多 边形的内角和,由多边形的内角和也可确定多边形的 边数． (２)多边形的外角和恒等于３６０°,与边数无关． 　 １．(１)一个多边形的内角和 比它的外角和的３倍少 １８０°,求这个多边形的边 数和内角和; (２)在一个多边形中,除 一个内角外,其余各个内 角的和为２２２０°,求这个 内角