3.3 方差和标准差-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

３．３　方差和标准差 　 　 'F 书写时要注意方差的单位 是原数据单位的平方． 知识点一　方差 方差的计 算公式 S２＝ １ n [(x１－x)２＋(x２－x)２＋􀆺＋(xn－x)２] 方差的意义 方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定 【例１】(１)(黑龙江绥化中考)在一次射击训练中,某位选 手五次射击的环数分别为５,８,７,６,９,则这位选手五次 射击环数的方差为　　　　． (２)(湖南长沙中考)甲、乙两名同学进行跳高测试,每 人１０次跳高的平均成绩恰好是１．６m,方差分别是 S２甲 ＝１．２m２,S２乙 ＝０．５m２,则在本次测试中,　　　　 同学的成绩更稳定(填“甲”或“乙”)． 解析:(１)五次射击的平均成绩为x＝ １ ５ (５＋８＋７＋６＋ ９)＝７(环), 方差S２＝ １ ５ [(５－７)２＋(８－７)２＋(７－７)２＋(６－７)２＋ (９－７)２]＝２(环２)． (２)因为S２甲 ＝１．２m２,S２乙 ＝０．５m２,所以S甲 ＞S乙 , 所以乙同学的成绩更稳定． 答案:(１)２　 (２)乙 (１)求一组数据的方差分两步:第１步,求出数据的平 均数;第２步,套用方差公式计算．计算时切记不要忘 记公式中的 １ n． (２)方差越小,数据越稳定,但稳定不代表“好”,要视 具体情况而定． ０９ 知识点二　标准差 一般地,一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的 标准差,用S 表示, 即S＝ １ n [(x１－x)２＋(x２－x)２＋􀆺＋(xn－x)２]． 【例２】已知一组数据４,０,２,１,－２,求这组数据的标 准差． 解:这组数据４,０,２,１,－２的平均数是 １ ５ (４＋０＋２＋ １－２)＝１, 方差S２＝ １ ５ [(４－１)２＋(０－１)２＋(２－１)２＋(１－ １)２＋(－２－１)２]＝４, 所以标准差S＝ ４＝２． 　 　 % 标准差和方差一样,都是反 映一组数据的波动大小的 统计量．在实际问题中,有 时要用到标准差,这是因为 标准差的单位和原数据的 单位一致,并且能缓解方差 过大或过小的现象． 题型一　利用标准差(方差)进行决策 【例１】两支女子排球队队员的年龄(单位:岁)如下: 甲队:２６,２５,２８,２８,２４,２８,２６,２８,２７,２９; 乙队:２８,２７,２５,２８,２７,２６,２８,２７,２７,２６． 试利用标准差比较两队队员年龄波动程度,若要选择 年龄波动程度小的一队参加某次活动,应该选择 哪队? 审题关键:标准差可以衡量数据的波动程度,标准差 越大,数据波动越大． 破题思路:求平均数 → 求方差 → 计算标准差 解:x甲 ＝ １ １０ (２６＋２５＋􀆺＋２９)＝２６．９(岁), x乙 ＝ １ １０ (２８＋２７＋􀆺＋２６)＝２６．９(岁)． S２甲 ＝[(２６－２６．９)２＋(２５－２６．９)２＋􀆺＋(２９－ ２６．９)２]÷１０＝２．２９(岁２), 　 １．市射击队为从甲、乙两名 运动员中选拔一人参加 省赛,对他们进行了六次 测试,测试成绩如下表: 选手 测试成绩(环) 甲 １０ ９ ８ ８ １０ ９ 乙 １０１０ ８ １０ ７ ９ 根据表中数据,若从方差 的角度看,你认为推荐谁 参加省赛更合适? 请说 明理由． １９ 　 ２．为了考察甲、乙两种玉米 的生长情况,在相同的时 间,将它们种在同一块实 验田 里,经 过 一 段 时 间 后,分别抽取１０株幼苗, 测 得 苗 高 如 下 (单 位: cm): 甲:８,１２,８,１０,１３,７,１２, １１,１０,９; 乙:１１,９,７,７,１２,１０,１１, １２,１３,８． 哪种玉米的幼苗长得比 较整齐? S２乙 ＝[(２８－２６．９)２ ＋(２７－２６．９)２ ＋ 􀆺 ＋(２６－ ２６．９)２]÷１０＝０．８９(岁２)． S甲 ＝ ２．２９≈１．５１(岁), S乙 ＝ ０．８９≈０．９４(岁)． 因为甲队的标准差大于乙队的标准差,所以乙队队员年 龄波动较小． 若要选择年龄波动程度小的一队参加活动,应该选 择乙队． " (１)当多组数据的平均数相同或接近时,一般用方 差或标准差来判断其稳定程度． (２)若未明确要求求方差或标准差,可以考虑通过 图象,根 据 其 波 动 幅 度 的 大 小 比 较 数 据 的 稳 定 程度． 题型二　利用样本方差估计总体方差 【例２】某灯具厂为了比较甲、乙两种灯的平均使用寿命, 各抽出８只做试验,结果如下(单位:h)． 甲:４５７,４３８,４６０,４４３,４６４,４５９,４４４,４５１; 乙:４６６,４５５,４６７,４３９,４５９,４５２,４６４,４３８． 哪种灯的平均使用寿命长? 哪种灯的质量比较稳定? 审题关键:比较平均使用寿命长短需要求平均数,比较 质量稳定性需要求方