2.2 一元二次方程的解法-【教材解读】2024春八年级下册数学（浙教版)

２．２　一元二次方程的解法 知识点一　用因式分解法解一元二次方程 因式分解法 描述 利用因式分解解一元二次方程的方法 理论依据 若两个因式的积为０,则这两个因式至少有一 个为０,即若AB＝０,则A＝０,或B＝０ 基本思想 通过因式分解实现“降次”,将一元二次方程转 化为两个一元一次方程 适用条件 一元二次方程的一边为０,另一边易于分解成 两个一次因式的乘积 用因式分解法解一元二次方程的步骤 【例１】用因式分解法解下列方程: (１)４x２－９＝０;　(２)x２＝５x; (３)２(x－１)２＋x＝１． 解:(１)原方程化为(２x＋３)(２x－３)＝０, 所以２x＋３＝０,或２x－３＝０, 所以x１＝－ ３ ２ ,x２＝ ３ ２． (２)原方程化为x２－５x＝０,即x(x－５)＝０, 所以x＝０,或x－５＝０,所以x１＝０,x２＝５． (３)将原方程整理,得２(x－１)２＋(x－１)＝０, 即(x－１)(２x－１)＝０, 所以x－１＝０,或２x－１＝０,所以x１＝１,x２＝ １ ２． 　 'F (１)因式分解法只能解某些 特殊的一元二次方程,不是 所有的一元二次方程都能 用因式分解法求解． (２)用因式分解法解一元二 次方程时,一定要把方程的 右边 化 为 ０,否 则 会 出 现 错误．  解形如x２＋(a＋b)x＋ab＝０ 的关于x 的一元二次方程 时,将其左边因式分解,则方 程化为(x＋a)(x＋b)＝０,所 以x＋a＝０,或x＋b＝０,即 x１＝－a,x２＝－b．















10 U2UM ９３ 　 'F (１)在开平方时,要注意a 是非负数．若a＜０,则方程 无实数根． (２)用此方法解一元二次方 程的结果中,若含有二次根 式,则 要 化 为 最 简 二 次 根式． " 灵活运用整体思想 开方降次转化求解 对形如(mx＋n)２＝p(m≠ ０,p≥０)的关于x 的一元二 次方程,运 用 整 体 思 想,把 mx＋n 看成一个整体,开平 方降次,得mx＋n＝± p, 即x＝ －n± p m ． 利用因式分解法解一元二次方程的口诀 　　右化零,左分解,两因式,各求解． 　　注:“左分解”时,先考虑提公因式分解因式,再 考虑用平方差公式或完全平方公式分解因式． 知识点二　用开平方法解一元二次方程 开平方法 一般地,对于形如x２＝a(a≥０)的方程,根据平方根 的定义,可得x１＝ a,x２＝－ a．这种解一元二次方 程的方法叫做开平方法． 用开平方法解一元二次方程的步骤 【例２】用开平方法解下列方程: (１)x２－４＝０;　　　　　 (２)３x２－２７＝０; (３)(x－１)２＝９; (４)(２x－３)２＝１６． 解:(１)移项,得x２＝４． 根据平方根的意义,得x＝±２,即x１＝２,x２＝－２． (２)移项,得３x２＝２７． 二次项系数化为１,得x２＝９． 根据平方根的意义,得x＝±３,即x１＝３,x２＝－３． (３)根据平方根的意义, 得x－１＝±３,即x１＝４,x２＝－２． (４)根据平方根的意义,得２x－３＝±４, 解得x１＝ ７ ２ ,x２＝－ １ ２． ０４ (１)如果一个一元二次方程一边是含有未知数的完全 平方式,另一边是一个不含有未知数的非负数,那么 这个方程可用开平方法求解． (２)利用开平方法求解一元二次方程时,一定要注意 方程有两个解． 知识点三　用配方法解一元二次方程 用配方法解一元二次方程的一般思路 先利用完全平方公式将原方程化成(x＋a)２＝b(b≥ ０)的形式,再利用开平方法求解． 用配方法解一元二次方程的一般步骤 【例３】解方程: ２x２－４x－１＝０　　　　　 　　　解题模板 　　⬇ ２x２－４x＝１　 常数项移到等号右边 含未知数的项移到左边→　　 移项 　　⬇　　　　　　　　　　　　　　　　　　⬇ x２－２x＝ １ ２ 方程两边同除以 二次项系数 →　 二次项系数化为１ 　　⬇ 　　 ⬇ x２－２x＋(－１)２＝ １ ２＋ (－１)２,即(x－ １)２＝ ３ ２ 方程两边同时加上一 次项系数一半的平方→　配方 　　⬇ ⬇ x－１＝± ６ ２ 平方根的意义 →　　　开平方 　　⬇ ⬇ x１＝ ２＋ ６ ２ ,x２＝ ２－ ６ ２ 　　 分别解两个 一元一次方程→ 求解 　 % (１)将二次项系数化为１是 运用配方法的前提,将二次 项系数化为１时,每一项都 要除以二次项系数． (２)配方时,方程两边同时 加上一次项系数一半的平 方,一次项系数的符号决定 了左边的完全平方式中是 两数差的平方还是两数和 的平方． １４ 　 'F “公式法”的三点注意 (１)使用公式法时,必须先 把方程化为一般形式,再确 定系数． (２)确定系数a,b,c